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试卷7

数学

一、单选题（共 26 题），每题只有一个选项正确

1. 设

F (x) = \int_{x}^{x + 2 π} e^{\sin t} \sin t d t

, 则

F (x)

A.

为正常数

B.

为负常数

C.

恒为零.

D.

不为常数

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2. 设

f (x)

是连续函数, 且

F (x) = \int_{x}^{e^{- x}} f (t) d t

, 则

F^{'} (x)

等于

A.

- e^{- x} f (e^{- x}) - f (x)

.

B.

- e^{- x} f (e^{- x}) + f (x)

.

C.

e^{- x} f (e^{- x}) - f (x)

.

D.

e^{- x} f (e^{- x}) + f (x)

.

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3.

lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} \frac{n}{(n + i) (n^{2} + j^{2})} =

A.

\int_{0}^{1} d x \int_{0}^{x} \frac{1}{(1 + x) (1 + y^{2})} d y

.

B.

\int_{0}^{1} d x \int_{0}^{x} \frac{1}{(1 + x) (1 + y)} d y

.

C.

\int_{0}^{1} d x \int_{0}^{1} \frac{1}{(1 + x) (1 + y)} d y

.

D.

\int_{0}^{1} d x \int_{0}^{1} \frac{1}{(1 + x) (1 + y^{2})} d y

.

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4. 设

f (x, y)

在

D = {(x, y) ∣ x^{2} + y^{2} \leq a^{2}}

上连续, 则

lim_{a \to 0} \frac{1}{a^{2}} \iint_{D} f (x, y) d σ

A.

不一定存在.

B.

存在且等于

f (0, 0)

.

C.

存在且等于

π f (0, 0)

.

D.

存在且等于

\frac{1}{π} f (0, 0)

.

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5. 设区域

D = {(x, y) | | x | + | y ∣\leq 1} . D_{1}

是

D

在第一象限内的部分.

f (x, y)

在

D

上连续, 等式

\iint_{D} f (x, y) d x d y = 4 \iint_{D_{1}} f (x, y) d x d y

成立的充分条件是

A.

f (- x, - y) = f (x, y)

.

B.

f (- x, - y) = - f (x, y)

.

C.

f (- x, y) = f (x, - y) = - f (x, y)

.

D.

f (- x, y) = f (x, - y) = f (x, y)

.

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6. 求极限

lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{2 - \sqrt{x y + 4}}{x y} =

A.

\frac{1}{4}

B.

- \frac{1}{2}

C.

- \frac{1}{4}

D.

\frac{1}{2}

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7. 设

f (x) = \frac{1}{1 - x^{2}}

, 则

f (x)

的一个原函数为

A.

\arcsin x

B.

\arctan x

.

C.

\frac{1}{2} \ln | \frac{1 - x}{1 + x} |

D.

\frac{1}{2} \ln | \frac{1 + x}{1 - x} |

.

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8. 设

I = \int \arctan x d x

, 则

I =

.

A.

x \arctan x - \ln \sqrt{x^{2} + 1} + C

B.

x \arctan x - \ln | x^{2} + 1 | + C

C.

x \arctan x + \frac{1}{2} (x^{2} + 1) + C

.

D.

\frac{1}{1 + x^{2}} + C

.

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9. 设

I = \int \frac{a + x}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} d x

, 则

I = ()

.

A.

a \arcsin \frac{x}{a} + \sqrt{a^{2} - x^{2}} + C

.

B.

a \arcsin \frac{x}{a} - \sqrt{a^{2} - x^{2}} + C

.

C.

a \arcsin \frac{x}{a} - x \sqrt{a^{2} - x^{2}} + C

.

D.

\arcsin \frac{x}{a} - \sqrt{a^{2} - x^{2}} + C

.

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10. 设

I = \int \frac{\arctan \sqrt{x}}{\sqrt{x} (1 + x)} d x

, 则

I =

.

A.

- (\arctan \sqrt{x})^{2} + C

.

B.

\arctan \sqrt{x} + C

C.

(\arctan \sqrt{x})^{2} + C

.

D.

- \sqrt{\arctan x} + C

.

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11. 设

I = \int \frac{d x}{e^{x} + e^{- x}}

, 则

I =

.

A.

e^{x} - e^{- x} + C

.

B.

\arctan e^{x} + C

.

C.

\arctan e^{- x} + C

.

D.

e^{x} + e^{- x} + C

.

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12. 设

I = \int (2 x - 3)^{10} d x

, 则

I =

.

A.

10 (2 x - 3)^{9} + C

.

B.

20 (2 x - 3)^{9} + C

.

C.

\frac{1}{22} (2 x - 3)^{11} + C

.

D.

\frac{1}{11} (2 x - 3)^{11} + C

.

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13. 设

\int f (x) d x = F (x) + C

, 则

\int \frac{1}{x^{2}} f (\frac{2}{x}) d x =

.

A.

F (\frac{2}{x}) + C

.

B.

- F (\frac{2}{x}) + C

.

C.

- \frac{1}{2} F (\frac{2}{x}) + C

D.

2 F (\frac{2}{x}) + C

.

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14. 设

I = \int \frac{d x}{1 + \sqrt{x}}

, 则

I =

.

A.

- 2 \sqrt{x} + 2 \ln (1 + \sqrt{x}) + C

B.

2 \sqrt{x} + 2 \ln (1 + \sqrt{x}) + C

C.

2 \sqrt{x} - 2 \ln (1 + \sqrt{x}) + C

D.

- 2 \sqrt{x} - 2 \ln (1 + \sqrt{x}) + C

.

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15. 设

I = \int a^{b x} d x

, 则

I =

.

A.

\frac{1}{b} \cdot \frac{a^{b x}}{\ln a} + C

B.

\frac{1}{b} \cdot \ln a \cdot a^{b x} + C

.

C.

\frac{1}{\ln a} a^{b x} + C

.

D.

\frac{1}{b} \cdot a^{b x} + C

.

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16. 设

I = \int \frac{x d x}{a + b x^{2}}

, 则

I =

.

A.

\frac{1}{2} \ln | a + b x^{2} | + C

.

B.

\frac{b}{2} \ln | a + b x^{2} | + C

.

C.

\frac{1}{b} \ln | a + b x^{2} | + C

.

D.

\frac{1}{2 b} \ln | a + b x^{2} | + C

.

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17. 函数

f (x)

在闭区间

[a, b]

上连续是

f (x)

在

[a, b]

上可积的

A.

必要条件

B.

充分条件.

C.

充分必要条件.

D.

既非充分也非必要条件.

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18. 由

[a, b]

上连续曲线

y = f (x)

, 直线

x = a, x = b (a < b)

和

x

轴围成图形的面积

S =

.

A.

\int_{a}^{b} f (x) d x

B.

| \int_{a}^{b} f (x) d x |

C.

\int_{a}^{b} | f (x) | d x

.

D.

\frac{[f (b) + f (a)] (b - a)}{2}

.

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19. 设在区间

[a, b]

上

f (x) > 0, f^{'} (x) < 0, f^{''} (x) > 0

,
令

S_{1} = \int_{a}^{b} - f (x) d x, S_{2} = f (b) (b - a), S_{3} = \frac{1}{2} [f (b) + f (a)] (b - a)

, 则有

A.

S_{1} < S_{2} < S_{3}

.

B.

S_{2} < S_{1} < S_{3}

.

C.

S_{3} < S_{1} < S_{2}

.

D.

S_{2} < S_{3} < S_{1}

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20.

\int_{- 1}^{0} | 3 x + 1 | d x =

.

A.

\frac{5}{6}

B.

- \frac{5}{6}

.

C.

- \frac{3}{2}

.

D.

\frac{3}{2}

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21. 若

f (x) = {\begin{cases} x, x ⩾ 0, \\ e^{x}, x < 0, \end{cases}

则

\int_{- 1}^{2} f (x) d x =

.

A.

3 - e^{- 1}

.

B.

3 + e^{- 1}

.

C.

3 - e

D.

3 + e +

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22. 估计积分值

A = \int_{0}^{\frac{1}{2}} e^{- x^{2}} d x

为

A.

\frac{1}{2} e^{- \frac{1}{4}} ⩽ A ⩽ \frac{1}{2}

.

B.

e^{- \frac{1}{4}} ⩽ A ⩽ \frac{1}{2}

.

C.

\frac{1}{2} e^{- \frac{1}{4}} ⩽ A ⩽ 1

D.

- \frac{1}{2} e^{- \frac{1}{4}} ⩽ A ⩽ \frac{1}{2}

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23.

lim_{n \to \infty} \int_{n}^{n + a} \frac{\sin x}{x} d x =

.

A.

1

B.

2

C.

3

D.

0

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24.

\int_{0}^{π} \sin x d x = ()

.

A.

1

B.

2

C.

3

D.

4

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25.

\int_{0}^{\frac{π}{2}} x^{2} \sin x d x =

.

A.

π - 2

.

B.

\frac{1}{4} π

C.

\frac{1}{2} π

.

D.

- π

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26.

\int_{- \infty}^{+ \infty} \frac{d x}{1 + x^{2}} =

A.

\frac{π}{2}

B.

- \frac{π}{2}

.

C.

π

D.

- π

.

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二、解答题（共 14 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

27.

\int \frac{d x}{\sin^{6} x + \cos^{6} x}

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28.

\int e^{\frac{x}{2}} \frac{\cos x}{\sqrt{\sin x + \cos x}} d x

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29.

\int e^{2 x} (\tan x + 1)^{2} d x

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30.

\int (\sqrt{\cot x} - \sqrt{\tan x}) d x

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31.

\int \frac{x \ln x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x

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32.

\int \frac{\sin (\ln x)}{x^{2}} d x

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33.

\int \frac{\sin 2 x}{\sin x + \cos x} d x

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34. 计算定积分

I = \int_{0}^{1} x^{3} \sqrt{1 - x^{2}} d x

.

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35. 设函数

f (x) = {\begin{array}{cc} λ e^{- λ x}, & x > 0, \\ 0, & x \leq 0 \end{array}, λ > 0

, 求

\int_{- \infty}^{+ \infty} x f (x) d x

.

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36. 设可导函数

f (x)

满足

\int x^{3} f^{'} (x) d x = x^{2} \cos x - 4 x \sin x - 6 \cos x + C

, 且

f (2 π) = \frac{1}{2 π}

, 求

\int f (x) d x .

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37. 计算定积分:

I = \int_{- π}^{π} \frac{x \sin x \cdot \arctan e^{x}}{1 + \cos^{2} x} d x

.

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38. 求定积分:

\int_{0}^{π} \cos^{2} x d x

.

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39. 求定积分:

\int_{0}^{1} \ln (1 + \sqrt{x}) d x

.

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40. 求定积分:

\int_{0}^{1} \ln (x + \sqrt{1 + x^{2}}) d x

.

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