一、单选题 （共 26 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设 $F(x)=\int_x^{x+2 \pi} \mathrm{e}^{\sin t} \sin t \mathrm{~d} t$, 则 $F(x)$
$\text{A.}$ 为正常数
$\text{B.}$ 为负常数
$\text{C.}$ 恒为零.
$\text{D.}$ 不为常数
设 $f(x)$ 是连续函数, 且 $F(x)=\int_x^{\mathrm{e}^{-x}} f(t) \mathrm{d} t$, 则 $F^{\prime}(x)$ 等于
$\text{A.}$ $-\mathrm{e}^{-x} f\left(\mathrm{e}^{-x}\right)-f(x)$.
$\text{B.}$ $-\mathrm{e}^{-x} f\left(\mathrm{e}^{-x}\right)+f(x)$.
$\text{C.}$ $\mathrm{e}^{-x} f\left(\mathrm{e}^{-x}\right)-f(x)$.
$\text{D.}$ $\mathrm{e}^{-x} f\left(\mathrm{e}^{-x}\right)+f(x)$.
$\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \frac{n}{(n+i)\left(n^2+j^2\right)}=$
$\text{A.}$ $\int_0^1 \mathrm{~d} x \int_0^x \frac{1}{(1+x)\left(1+y^2\right)} \mathrm{d} y$.
$\text{B.}$ $\int_0^1 \mathrm{~d} x \int_0^x \frac{1}{(1+x)(1+y)} \mathrm{d} y$.
$\text{C.}$ $\int_0^1 \mathrm{~d} x \int_0^1 \frac{1}{(1+x)(1+y)} \mathrm{d} y$.
$\text{D.}$ $\int_0^1 \mathrm{~d} x \int_0^1 \frac{1}{(1+x)\left(1+y^2\right)} \mathrm{d} y$.
设 $f(x, y)$ 在 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq a^2\right\}$ 上连续, 则 $\lim _{a \rightarrow 0} \frac{1}{a^2} \iint_D f(x, y) \mathrm{d} \sigma $
$\text{A.}$ 不一定存在.
$\text{B.}$ 存在且等于 $f(0,0)$.
$\text{C.}$ 存在且等于 $\pi f(0,0)$.
$\text{D.}$ 存在且等于 $\frac{1}{\pi} f(0,0)$.
设区域 $D=\{(x, y)|| x|+| y \mid \leq 1\} . D_1$ 是 $D$ 在第一象限内的部分. $f(x, y)$ 在 $D$ 上连续, 等式 $\iint_D f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=4 \iint_{D_1} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 成立的充分条件是
$\text{A.}$ $f(-x,-y)=f(x, y)$.
$\text{B.}$ $f(-x,-y)=-f(x, y)$.
$\text{C.}$ $f(-x, y)=f(x,-y)=-f(x, y)$.
$\text{D.}$ $f(-x, y)=f(x,-y)=f(x, y)$.
求极限 $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{2-\sqrt{x y+4}}{x y}=$
$\text{A.}$ $\frac{1}{4}$
$\text{B.}$ $-\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $-\frac{1}{4}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{2}$
设 $f(x)=\frac{1}{1-x^2}$, 则 $f(x)$ 的一个原函数为
$\text{A.}$ $\arcsin x$
$\text{B.}$ $\arctan x$.
$\text{C.}$ $\frac{1}{2} \ln \left|\frac{1-x}{1+x}\right|$
$\text{D.}$ $\frac{1}{2} \ln \left|\frac{1+x}{1-x}\right|$.
设 $I=\int \arctan x \mathrm{~d} x$, 则 $I=$.
$\text{A.}$ $x \arctan x-\ln \sqrt{x^2+1}+C$
$\text{B.}$ $x \arctan x-\ln \left|x^2+1\right|+C$
$\text{C.}$ $x \arctan x+\frac{1}{2}\left(x^2+1\right)+C$.
$\text{D.}$ $\frac{1}{1+x^2}+C$.
设 $I=\int \frac{a+x}{\sqrt{a^2-x^2}} \mathrm{~d} x$, 则 $I=(\quad)$.
$\text{A.}$ $a \arcsin \frac{x}{a}+\sqrt{a^2-x^2}+C$.
$\text{B.}$ $a \arcsin \frac{x}{a}-\sqrt{a^2-x^2}+C$.
$\text{C.}$ $a \arcsin \frac{x}{a}-x \sqrt{a^2-x^2}+C$.
$\text{D.}$ $\arcsin \frac{x}{a}-\sqrt{a^2-x^2}+C$.
设 $I=\int \frac{\arctan \sqrt{x}}{\sqrt{x}(1+x)} \mathrm{d} x$, 则 $I=$.
$\text{A.}$ $-(\arctan \sqrt{x})^2+C$.
$\text{B.}$ $\arctan \sqrt{x}+C$
$\text{C.}$ $(\arctan \sqrt{x})^2+C$.
$\text{D.}$ $-\sqrt{\arctan x}+C$.
设 $I=\int \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{-x}}$, 则 $I=$.
$\text{A.}$ $\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{-x}+C$.
$\text{B.}$ $\arctan \mathrm{e}^x+C$.
$\text{C.}$ $\arctan \mathrm{e}^{-x}+C$.
$\text{D.}$ $\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{-x}+C$.
设 $I=\int(2 x-3)^{10} \mathrm{~d} x$, 则 $I=$.
$\text{A.}$ $10(2 x-3)^9+C$.
$\text{B.}$ $20(2 x-3)^9+C$.
$\text{C.}$ $\frac{1}{22}(2 x-3)^{11}+C$.
$\text{D.}$ $\frac{1}{11}(2 x-3)^{11}+C$.
设 $\int f(x) \mathrm{d} x=F(x)+C$, 则 $\int \frac{1}{x^2} f\left(\frac{2}{x}\right) \mathrm{d} x=$.
$\text{A.}$ $F\left(\frac{2}{x}\right)+C$.
$\text{B.}$ $-F\left(\frac{2}{x}\right)+C$.
$\text{C.}$ $-\frac{1}{2} F\left(\frac{2}{x}\right)+C$
$\text{D.}$ $2 F\left(\frac{2}{x}\right)+C$.
设 $I=\int \frac{\mathrm{d} x}{1+\sqrt{x}}$, 则 $I=$.
$\text{A.}$ $-2 \sqrt{x}+2 \ln (1+\sqrt{x})+C$
$\text{B.}$ $2 \sqrt{x}+2 \ln (1+\sqrt{x})+C$
$\text{C.}$ $2 \sqrt{x}-2 \ln (1+\sqrt{x})+C$
$\text{D.}$ $-2 \sqrt{x}-2 \ln (1+\sqrt{x})+C$.
设 $I=\int a^{b x} \mathrm{~d} x$, 则 $I=$.
$\text{A.}$ $\frac{1}{b} \cdot \frac{a^{b x}}{\ln a}+C$
$\text{B.}$ $\frac{1}{b} \cdot \ln a \cdot a^{b x}+C$.
$\text{C.}$ $\frac{1}{\ln a} a^{b x}+C$.
$\text{D.}$ $\frac{1}{b} \cdot a^{b x}+C$.
设 $I=\int \frac{x \mathrm{~d} x}{a+b x^2}$, 则 $I=$.
$\text{A.}$ $\frac{1}{2} \ln \left|a+b x^2\right|+C$.
$\text{B.}$ $\frac{b}{2} \ln \left|a+b x^2\right|+C$.
$\text{C.}$ $\frac{1}{b} \ln \left|a+b x^2\right|+C$.
$\text{D.}$ $\frac{1}{2 b} \ln \left|a+b x^2\right|+C$.
函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续是 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积的
$\text{A.}$ 必要条件
$\text{B.}$ 充分条件.
$\text{C.}$ 充分必要条件.
$\text{D.}$ 既非充分也非必要条件.
由 $[a, b]$ 上连续曲线 $y=f(x)$, 直线 $x=a, x=b(a < b)$ 和 $x$ 轴围成图形的面积 $S=$.
$\text{A.}$ $\int_a^b f(x) \mathrm{d} x$
$\text{B.}$ $\left|\int_a^b f(x) \mathrm{d} x\right|$
$\text{C.}$ $\int_a^b|f(x)| \mathrm{d} x$.
$\text{D.}$ $\frac{[f(b)+f(a)](b-a)}{2}$.
设在区间 $[a, b]$ 上 $f(x)>0, f^{\prime}(x) < 0, f^{\prime \prime}(x)>0$,
令 $S_1=\int_a^b-f(x) \mathrm{d} x, S_2=f(b)(b-a), S_3=\frac{1}{2}[f(b)+f(a)](b-a)$, 则有
$\text{A.}$ $S_1 < S_2 < S_3$.
$\text{B.}$ $S_2 < S_1 < S_3$.
$\text{C.}$ $S_3 < S_1 < S_2$.
$\text{D.}$ $S_2 < S_3 < S_1$
$\int_{-1}^0|3 x+1| \mathrm{d} x= $.
$\text{A.}$ $\frac{5}{6}$
$\text{B.}$ $-\frac{5}{6}$.
$\text{C.}$ $-\frac{3}{2}$.
$\text{D.}$ $\frac{3}{2}$
若 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x, x \geqslant 0, \\ \mathrm{e}^x, x < 0,\end{array}\right.$ 则 $\int_{-1}^2 f(x) \mathrm{d} x= $.
$\text{A.}$ $3-\mathrm{e}^{-1}$.
$\text{B.}$ $3+\mathrm{e}^{-1}$.
$\text{C.}$ $3-\mathrm{e}$
$\text{D.}$ $3+\mathrm{e}+$
估计积分值 $A=\int_0^{\frac{1}{2}} \mathrm{e}^{-x^2} \mathrm{~d} x$ 为
$\text{A.}$ $\frac{1}{2} \mathrm{e}^{-\frac{1}{4}} \leqslant A \leqslant \frac{1}{2}$.
$\text{B.}$ $\mathrm{e}^{-\frac{1}{4}} \leqslant A \leqslant \frac{1}{2}$.
$\text{C.}$ $\frac{1}{2} \mathrm{e}^{-\frac{1}{4}} \leqslant A \leqslant 1$
$\text{D.}$ $-\frac{1}{2} \mathrm{e}^{-\frac{1}{4}} \leqslant A \leqslant \frac{1}{2}$
$\lim _{n \rightarrow \infty} \int_n^{n+a} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x= $.
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 0
$\int_0^\pi \sin x \mathrm{~d} x=(\quad)$.
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
$\int_0^{\frac{\pi}{2}} x^2 \sin x \mathrm{~d} x=$.
$\text{A.}$ $\pi-2$.
$\text{B.}$ $\frac{1}{4} \pi$
$\text{C.}$ $\frac{1}{2} \pi$.
$\text{D.}$ $-\pi$
$\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{1+x^2}=$
$\text{A.}$ $\frac{\pi}{2}$
$\text{B.}$ $-\frac{\pi}{2}$.
$\text{C.}$ $\pi$
$\text{D.}$ $-\pi$.
二、解答题 （ 共 14 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
$ \int \frac{d x}{\sin ^6 x+\cos ^6 x}$
$\int e^{\frac{x}{2}} \frac{\cos x}{\sqrt{\sin x+\cos x}} d x$
$\int e^{2 x}(\tan x+1)^2 d x$
$\int(\sqrt{\cot x}-\sqrt{\tan x}) d x$
$\int \frac{x \ln x}{\left(1+x^2\right)^{\frac{3}{2}}} d x$
$\int \frac{\sin (\ln x)}{x^2} d x$
$\int \frac{\sin 2 x}{\sin x+\cos x} d x$
计算定积分 $I=\int_0^1 x^3 \sqrt{1-x^2} \mathrm{~d} x$.
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\lambda e^{-\lambda x}, & x>0, \\ 0, & x \leq 0\end{array}, \lambda>0\right.$, 求 $\int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) \mathrm{d} x$.
设可导函数 $f(x)$ 满足 $\int x^3 f^{\prime}(x) \mathrm{d} x=x^2 \cos x-4 x \sin x-6 \cos x+C$, 且 $f(2 \pi)=\frac{1}{2 \pi}$, 求
$$
\int f(x) d x .
$$
计算定积分: $I=\int_{-\pi}^\pi \frac{x \sin x \cdot \arctan e^x}{1+\cos ^2 x} d x$.
求定积分: $\int_0^\pi \cos ^2 x \mathrm{~d} x$.
求定积分: $\int_0^1 \ln (1+\sqrt{x}) \mathrm{d} x$.
求定积分: $\int_0^1 \ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right) \mathrm{d} x$.