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试卷6

数学

一、单选题（共 8 题），每题只有一个选项正确

1. 下列广义积分收敛的是

A.

\int_{1}^{+ \infty} \ln x d x

B.

\int_{1}^{+ \infty} \frac{1}{x^{2}} d x

C.

\int_{1}^{+ \infty} \frac{1}{x} d x

D.

\int_{1}^{+ \infty} e^{x} d x

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2. 设

f (x)

连续, 且

lim_{x \to 0^{+}} \frac{f (x)}{x} = 1, α (x) = \int_{0}^{\sqrt{x}} \frac{\ln (1 + t^{+})}{f (t)} d t, β (x) = \int_{0}^{\sin x} \frac{\sqrt{1 + t^{3}} - 1}{f (t)} d t

, 则当

x \to 0^{+}

时,

α (x)

是

β (x)

的

A.

等价无穷小

B.

同阶但非等价的无穷小

C.

高阶无穷小

D.

低阶无穷小

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3. 设

f (x)

是连续函数，

F (x)

是

f (x)

的原函数，则

A.

当

f (x)

是奇函数时，

F (x)

必是偶函数

B.

当

f (x)

是偶函数时，

F (x)

必是奇函数

C.

当

f (x)

是是周期函数时，

F (x)

必是周期函数

D.

当

f (x)

是单调增函数时，

F (x)

必是单调增函数

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4. 设

f (x)

为连续函数，

I = t \int_{0}^{\frac{s}{t}} f (t x) d x

，其中

s > 0, t > 0

, 则

I

的值

A.

依赖于

s

和

t

B.

依赖于

s, t, x

C.

依赖于

t

和

x

，不依赖于

s

D.

依赖于

s

，不依赖于

t

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5. 设

I_{k} = \int_{0}^{k π} e^{x^{2}} \sin x d x (k = 1, 2, 3)

，则有

A.

I_{1} < I_{2} < I_{3}

B.

I_{3} < I_{2} < I_{1}

C.

I_{2} < I_{3} < I_{1}

D.

I_{2} < I_{1} < I_{3}

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6. 设三个积分分别为

\begin{matrix} M = \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{\sin x}{1 + x^{2}} \cos^{4} x d x, \\ N = \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} (\sin^{3} x + \cos^{4} x) d x, \\ P = \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} (x^{2} \sin^{3} x - \cos^{4} x) d x, \end{matrix}

则

A.

N < P < M

B.

M < P < N

C.

N < M < P

D.

P < M < 1

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7. 设

a_{n} = \frac{3}{2} \int_{0}^{\frac{n}{n + 1}} x^{n - 1} \sqrt{1 + x^{n}} d x

，则极限

lim_{n \to \infty} n a_{n}

等于

A.

(1 + e)^{\frac{3}{2}} + 1

B.

{(1 + e^{- 1})}^{\frac{3}{2}} - 1

C.

{(1 + e^{- 1})}^{\frac{3}{2}} + 1

D.

(1 + e)^{\frac{3}{2}} - 1

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8. 设

\begin{aligned} M & = \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{(1 + x)^{2}}{1 + x^{2}} d x, \\ N & = \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{1 + x}{e^{x}} d x \\ K & = \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} (1 + \sqrt{\cos x}) d x ， \end{aligned}

则

M, N, K

的大小关系为

A.

M > N > K

B.

M > K > N

C.

K > M > N

D.

K > N > M

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二、填空题（共 20 题），请把答案直接填写在答题纸上

9. 定积分

\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{e^{x} (1 + \sin x)}{1 + \cos x} d x =

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10.

\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} (x e^{x^{4}} + \cos x) d x =

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11.

\int_{1}^{+ \infty} \frac{\ln x}{x^{2}} d x =

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12.

\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} (\cos^{2} x + \int_{0}^{x} e^{- t^{2}} d t) \sin^{2} x d x =

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13. 设

a > 0

, 则

\int_{0}^{+ \infty} \frac{x^{3}}{e^{a x}} d x =

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14. 求广义积分

\int_{0}^{+ \infty} x^{5} e^{- x^{2}} d x

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15. 求不定积分

\int x^{2} \arctan x d x

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16.

lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} \frac{i {(1 + \cos \frac{2 π i}{n})}^{2}}{n^{2} + i} =

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17. 记

F (x) = \int_{0}^{x^{2}} \cos (π t^{2}) d t

，则

F^{'} (1) =

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18. 设

f (x) = min {x^{2}, 1}

，则

\int_{0}^{2} f (x) d x =

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19.

\int_{0}^{+ \infty} \frac{d x}{e^{x} + 1} =

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20. 设

p > 0

，广义积分

\int_{1}^{+ \infty} x^{2} \ln (1 + \sin \frac{1}{x^{p}}) d x

收敛，则实数

p

的取值范围是

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21. 设连续函数

f (x)

满足

2 \int_{1}^{x} f (t) d t = x f (x) + x^{2}

，则

f^{'} (1) =

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22.

lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{n + k - \sin^{2} n} =

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23. 求

lim_{x \to 0} \frac{\int_{0}^{x} (x - t) f (t) d t}{x \int_{0}^{x} f (x - t) d t}

, 其中

f (x)

连续且

f (0) \neq 0

.

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24. 设

f (x)

是周期为 2 的连续函数:
(1) 证明对任意实数

t

，有

\int_{t}^{t + 2} f (x) d x = \int_{0}^{2} f (x) d x

；
(2) 证明

G (x) = \int_{0}^{x} [2 f (t) - \int_{t}^{t + 2} f (s) d s] d t

是周期为 2 的周期函数.

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25. 设

f (x) = \int_{1}^{x} \frac{\ln t}{1 + t} d t

，其中

x > 0

，求

f (x) + f (\frac{1}{x})

.

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26. 设

f (x)

是区间

[0, \frac{π}{4}]

上的单调、可导函数，且满足

\int_{0}^{f (x)} f^{- 1} (t) d t = \int_{0}^{x} t \frac{\cos t - \sin t}{\sin t + \cos t} d t

其中

f^{- 1}

是

f

的反函数，求

f (x)

.

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27. 设

f (x)

在

(- \infty, + \infty)

内满足

f (x) = f (x - π) + \sin x ，

且

f (x) = x, x \in [0, π)

，计算

I = \int_{π}^{3 π} f (x) d x

.

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28. 设函数

f (x)

可导，且

f (0) = 0

，

F (x) = \int_{0}^{x} t^{n - 1} f (x^{n} - t^{n}) d t,

求

lim_{x \to 0} \frac{F (x)}{x^{2 n}}

.

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三、解答题（共 12 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

29. 求广义积分:

\int_{0}^{+ \infty} e^{- x} \cos (a x) d x

, 其中

a

为常数.

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30. 计算积分

I = \int_{0}^{2 π} d ϕ \int_{0}^{π} e^{\sin θ (\cos ϕ - \sin ϕ)} \sin θ d θ

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31. 已知

f (x) = x^{3} + \int_{0}^{2} f (x) d x

, 求

f (x)

.

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32. 求

\int_{0}^{3} (x + 1) \ln \sqrt{x + 1} d x

.

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33. 计算

I = \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} d x \int_{\sqrt{x}}^{1} e^{- y^{2}} d y

.

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34. 已知

f^{''} (x)

连续, 且

f (0) = f (π) = 1

, 求积分

\int_{0}^{π} [f (x) + f^{''} (x)] \sin x d x

.

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35. 设无穷积分

\int_{a}^{+ \infty} f (x) d x

收敛.
(1) 证明: 若

f (x)

在

[a, + \infty)

上一致连续，则

lim_{x \to + \infty} f (x) = 0 .

(2) 若去掉 “一致连续” 能否推出 "

lim_{x \to + \infty} f (x) = 0

" ? 若可以，请证明，否则举出反例.

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36. 求积分

\int_{0}^{e} \cos (\ln x) d x

的值。

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37. 设

a

为常数, 反常积分

\int_{0}^{+ \infty} \frac{x^{a} \arctan x^{b}}{\sqrt{1 + x^{c}}} d x

对任意正实数

b, c

均收玫.
(I) 求

a

的值.
(II) 证明:

\frac{\sqrt{2} π^{2}}{8} ⩽ \int_{0}^{+ \infty} \frac{x^{a} \arctan x}{\sqrt{1 + x^{2}}} d x ⩽ \frac{π (π + 2)}{8}

.

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38. 设

f (x)

连续,

lim_{x \to 0} \frac{f (x)}{x} = 1

. 求极限

lim_{x \to 0} {[1 + \int_{0}^{x} t f (x^{2} - t^{2}) d t]}^{(t a n x - x) \ln (1 + x)}

.

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39. 计算定积分

\int_{- π}^{π} \frac{x \sin x \cdot \arctan e^{x}}{1 + \cos^{2} x} d x

.

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40. 设平面区域

D

在

x

轴和

y

轴上投影区间的长度分别为

l_{x}

和

l_{y}, S_{D}

表示平面区域

D

的面积，

(α, β)

为

D

内任意一点，证明:
(1)

| \iint_{D} (x - α) (y - β) d x d y | \leq l_{x} l_{y} S_{D}

；
(2)

| \iint_{D} (x - α) (y - β) d x d y | \leq \frac{l_{x}^{2} l_{y}^{2}}{4}

.

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