一、单选题 （共 7 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
1.设 $D=\left\{(x,y)|x²+y²≤4,x≥0,y≥0\right\}$, 且$a>0$,$b>0$,则$ I= \iint _{D} \dfrac {ae^{x^{2}}+be^{y^{2}}}{e^{x^{2}}+e^{y^{2}}}d \sigma =\underline{\quad\quad\quad}$.
$\text{A.}$ $\frac {(a+b)}{4} \pi$
$\text{B.}$ $\frac {(a+b)}{3} \pi$
$\text{C.}$ $\frac {(a+b)}{2} \pi$
$\text{D.}$ $(a+b)\pi$
设 $D=\left\{(x,y)|x+y≤1,x≥0,y≥0\right\}$,令 $I= \iint _{D} \sqrt {x^{2}+y^{2}}dxdy$,$J= \iint _{D} \ln (1+x^{2}+y^{2})dxdy$,$K= \iint _{D}(x^{2}+y^{2})dxdy$, 则
$\text{A.}$ $I < J < K$
$\text{B.}$ $J < K < I$
$\text{C.}$ $J < I < K$
$\text{D.}$ $K < J < I$
$\int _{ \dfrac { \pi }{4}}^{ \dfrac { \pi }{2}}d \theta \int _{0}^{ \cos \theta }r^{2} \cos \theta f(r)dr= \underline{\quad\quad\quad}$.
$\text{A.}$ $\int _{0}^{1}xdx \int _{x}^{1}f(x,y)dy$
$\text{B.}$ $\int _{0}^{1}xdx \int _{0}^{x}f(x,y)y$
$\text{C.}$ $ \int _{0}^{1}xdx \int _{0}^{x}f( \sqrt {x^{2}+y^{2}})dy$
$\text{D.}$ $ \int _{0}^{1}xdx \int _{x}^{1}f( \sqrt {x^{2}+y^{2}})dy$
设$D$是由$A(π,π)$、$B(-π,π)$、$C(-π,-π)$三点构成的三角形区域,则
$\iint _{D}(xy+ \sin x \cos y)dxdy= \underline { \quad \quad \quad }$.
$\text{A.}$ $-π$
$\text{B.}$ $π$
$\text{C.}$ $\dfrac { \pi }{2}$
$\text{D.}$ $0$
设 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq R^2\right\}$, 则 $\iint_D \sqrt{x^2+y^2} \mathrm{~d} \sigma=$.
$\text{A.}$ $\pi R^3$
$\text{B.}$ $\frac{2 \pi R^3}{3}$
$\text{C.}$ $\pi R^2$
$\text{D.}$ $2 \pi R^2$
设函数 $f(x)=\iint_{u^2+v^2 \leqslant x^2} \arctan \left(1+\sqrt{u^2+v^2}\right) \mathrm{d} u \mathrm{~d} v(x>0)$, 则 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{f(x)}{\mathrm{e}^{-2 x}-1+2 x}=$
$\text{A.}$ $-\frac{\pi^2}{8}$.
$\text{B.}$ $-\frac{\pi^2}{4}$.
$\text{C.}$ $\frac{\pi^2}{4}$.
$\text{D.}$ $\frac{\pi^2}{8}$.
设 $f$ 是连续函数, 积分区域 $D: x^2+y^2 \leq 1$ 且 $y \geq 0$, 则 $\iint_D f\left(\sqrt{x^2+y^2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 可化为
$\text{A.}$ $\pi \int_0^1 r f(r) \mathrm{d} r$
$\text{B.}$ $2 \pi \int_0^1 r f(r) \mathrm{d} r$
$\text{C.}$ $2 \pi \int_0^1 f(r) \mathrm{d} r$
$\text{D.}$ $\pi \int_0^1 f(r) d r$
二、填空题 （共 14 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
(1) $\lim \limits _{m \rightarrow \infty } \sum \limits _{i=1}^{m} \sum \limits _{j=1}^{n} \dfrac {n}{(m+i)(n^{2}+j^{2})}= \underline { \quad \quad \quad }$.
(2) $\lim \limits _{n \rightarrow \infty } \sum \limits _{i=1}^{n} \sum \limits _{j=1}^{n} \dfrac {i}{n^{3}} \sin ^{2} \dfrac {2 \pi j}{n}= \underline { \quad \quad \quad }$.
设 $D=\left\{\left( x,y\right)|-1≤x≤1,0≤y≤1\right\}$, 则 $\iint _{D}\left[x^{2}y+y \ln (x+ \sqrt {x^{2}+1})\right]dxdy=\underline { \quad \quad \quad }$.
设$D=\left\{(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1\right\}$,则 $\iint _{D} \sqrt {|x-y|} dxdy= \underline { \quad \quad \quad }$
设$D=\left\{(x,y)|x²+y²≤4\right\}$,则$ \iint _{D}(x+2y)^{2}dxdy= \underline { \quad \quad \quad }$.
5.设 区 域 $D=\left\{(x,y)|-π≤x≤π,0≤y≤|x|\right\}$, 则 $\iint _{D}( \sin ^{2}x+xy^{3})dxdy=\underline { \quad \quad \quad }$.
设 $D=\left\{( x,y) |x^2+y^2≤2x\right\}$, 则 $\iint _{D}(x^{2}+xy)dxdy= \underline { \quad \quad \quad }$.
改变积分次序$\int _{0}^{1}dx \int _{x}^{ \sqrt {x}}f(x,y)dy= \underline { \quad \quad \quad }$.
$\int _{0}^{1}dy \int _{y}^{1}e^{x^{2}}dx= \underline { \quad \quad \quad }$.
设$f(u)$连续, $f(0)=0$,$f'(0)=1 $,且$D=\left\{(x,y)|x^2+y^2≤t^2\right\}(t>0)$, 则$\lim \limits _{t \rightarrow 0^{+}} \dfrac { \iint _{0}^{1}f( \sqrt {x^{2}+y^{2}})dxdy}{ \tan t-t}$.
设区域$D$由$ y= \sqrt {2x-x^{2}} $与$ x$轴围成， $f(x,y)=xy- \iint _{D}f(x,y)dxdy$, 则$f(x,y)=\underline { \quad \quad \quad }$.
二元函数 $z=\ln \left(y^2-2 x+1\right)$ 的定义域为
二重积分 $\iint_D \sin \left(\max \left\{x^2, y^2\right\}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=$ 其中
$$
D=[0, \sqrt{\pi}] \times[0, \sqrt{\pi}] .
$$
交换积分次序后 $\int_0^1 \mathrm{~d} y \int_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}} f(x, y) \mathrm{d} x=$
二次积分 $\int_1^4 \mathrm{~d} x \int_x^4 \frac{1}{x \ln y} \mathrm{~d} y$ 的值为
三、解答题 （ 共 19 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
计算$ \iint _{D}xy^{2}dxdy$, 其中区域D由$y=x$、$x+y=1$及$x$轴围成.
设区域$D$由$y=x$与$y= \sqrt {x}$ 所围成，求 $\iint _{D} \frac { \sin y}{y}dxdy$.
求 $\iint _{D} \max \left\{ xy,1 \right\} dxdy$, 其中$D=\left\{(x,y)|0≤x≤2,0≤y≤2\right\}$.
设 $D= \left\{ (x,y) \le 1,0 \le y \le \sqrt {1-x^{2}} \right\}$ , 求 $\iint _{D} |x-y| dxdy$.
设区域$D=\left\{(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1\right\}$,求$ \iint _{D} \sqrt{|y-x^2|}dxdy$.
设$D$由$ x^2+y^2=2x$所围成,计算 $I= \iint _{D}(x^{2}+ \cos x \sin y)dxdy$.
设区域 $D={(x,y)|x^2+y^2≤1}$, ，计算 $I= \iint _{D}(x-2y)^{2}dxdy$.
求$\int _{0}^{2}dx \int _{x}^{2}e^{-y^{2}}dy$.
计算 $\iint _{D} \dfrac {x}{x^{2}+y^{2}}dxdy$, 其中$D={(x,y)|x+y≥1,x^2+y^2≤1}$.
设函数$f(u)$连续,且$f(0)=0$,$f'(0)=2$, 求$\lim {t\rightarrow 0^{+} \dfrac{\iint_{x^2+y^2\le t^2}f(x^2+y^2)dxdy}{(\arcsin t-t)\ln (1+2t)}}$.
交换二次积分 $I=\int_0^{\sqrt{\pi}} \mathrm{d} x \int_x^{\sqrt{\pi}} \sin y^2 \mathrm{~d} y$ 的次序, 并且求出 $I$ 的值.
计算 $\iint_{\Sigma} x^3 \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^3 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z$, 其中 $\Sigma$ 为圆柱面 $x^2+y^2=R^2$ 介于平面 $z=0$ 和 $z=h$ 之间部分的外侧.
求解 $\iint_{\Sigma} \frac{x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\left(\sqrt{x^2+y^2+z^2}\right)^3}$, 其中 $\Sigma: x^2+y^2+\frac{z^2}{2}=1$ 当中 $z \geqslant-\frac{1}{2}$ 的部分, 取外侧。
计算二重积分 $\iint_D \frac{x+y}{x^2+y^2} d x d y$, 其中 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq 1, x+y \geq 1\right\}$ 。
抛物面 $z=x^2+y^2$ 被平面 $x+y+z=1$ 截成一椭圆, 求原点到这椭圆的最长与最短距离。
计算二重积分 $\iint_D\left|y^2-x^2\right| \mathrm{d} \sigma$ ，其中
$$
D=\{(x, y) \mid x \in[-1,1], y \in[0,2]\} .
$$
设函数 $f(x)$ 具有二阶连续导数，且
$$
f(0)=1, f^{\prime}(0)=1 \text {. }
$$
假设对任意光滑闭曲面 $\boldsymbol{\Sigma}$ ，恒有
$$
\oint_{\Sigma}\left[f^{\prime}(x)+x^2\right] \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+(z+1) f(x) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=0 .
$$
试求 $f(x)$ 的表达式.
计算二重积分 $I=\iint_D x \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$, 其中 $D$ 由 $y=\sqrt{1-x^2}, y=\sqrt{2 x-x^2}$ 与 $x$ 轴所围成的区域.
设 $D=\left\{(x, y): x^2+y^2 \leq 1\right\}$, 实数 $\alpha, \beta$ 满足 $\alpha^2+\beta^2=1$, 计算二重积分
$$
\iint_D \frac{\mathrm{d} x \mathrm{~d} y}{\sqrt{(1-\alpha x+\beta y)^2+(\beta x+\alpha y)^2}} .
$$