单选题 （共 3 题 ），每题只有一个选项正确
设 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq R^2\right\}$, 则 $\iint_D \sqrt{x^2+y^2} \mathrm{~d} \sigma=$.
$\text{A.}$ $\pi R^3$
$\text{B.}$ $\frac{2 \pi R^3}{3}$
$\text{C.}$ $\pi R^2$
$\text{D.}$ $2 \pi R^2$
设函数 $f(x)=\iint_{u^2+v^2 \leqslant x^2} \arctan \left(1+\sqrt{u^2+v^2}\right) \mathrm{d} u \mathrm{~d} v(x>0)$, 则 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{f(x)}{\mathrm{e}^{-2 x}-1+2 x}=$
$\text{A.}$ $-\frac{\pi^2}{8}$.
$\text{B.}$ $-\frac{\pi^2}{4}$.
$\text{C.}$ $\frac{\pi^2}{4}$.
$\text{D.}$ $\frac{\pi^2}{8}$.
设 $f$ 是连续函数, 积分区域 $D: x^2+y^2 \leq 1$ 且 $y \geq 0$, 则 $\iint_D f\left(\sqrt{x^2+y^2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 可化为
$\text{A.}$ $\pi \int_0^1 r f(r) \mathrm{d} r$
$\text{B.}$ $2 \pi \int_0^1 r f(r) \mathrm{d} r$
$\text{C.}$ $2 \pi \int_0^1 f(r) \mathrm{d} r$
$\text{D.}$ $\pi \int_0^1 f(r) d r$
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
二元函数 $z=\ln \left(y^2-2 x+1\right)$ 的定义域为
二重积分 $\iint_D \sin \left(\max \left\{x^2, y^2\right\}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=$ 其中
$$
D=[0, \sqrt{\pi}] \times[0, \sqrt{\pi}] .
$$
交换积分次序后 $\int_0^1 \mathrm{~d} y \int_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}} f(x, y) \mathrm{d} x=$
二次积分 $\int_1^4 \mathrm{~d} x \int_x^4 \frac{1}{x \ln y} \mathrm{~d} y$ 的值为
解答题 （共 9 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
交换二次积分 $I=\int_0^{\sqrt{\pi}} \mathrm{d} x \int_x^{\sqrt{\pi}} \sin y^2 \mathrm{~d} y$ 的次序, 并且求出 $I$ 的值.
计算 $\iint_{\Sigma} x^3 \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^3 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z$, 其中 $\Sigma$ 为圆柱面 $x^2+y^2=R^2$ 介于平面 $z=0$ 和 $z=h$ 之间部分的外侧.
求解 $\iint_{\Sigma} \frac{x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\left(\sqrt{x^2+y^2+z^2}\right)^3}$, 其中 $\Sigma: x^2+y^2+\frac{z^2}{2}=1$ 当中 $z \geqslant-\frac{1}{2}$ 的部分, 取外侧。
计算二重积分 $\iint_D \frac{x+y}{x^2+y^2} d x d y$, 其中 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq 1, x+y \geq 1\right\}$ 。
抛物面 $z=x^2+y^2$ 被平面 $x+y+z=1$ 截成一椭圆, 求原点到这椭圆的最长与最短距离。
计算二重积分 $\iint_D\left|y^2-x^2\right| \mathrm{d} \sigma$ ，其中
$$
D=\{(x, y) \mid x \in[-1,1], y \in[0,2]\} .
$$
设函数 $f(x)$ 具有二阶连续导数，且
$$
f(0)=1, f^{\prime}(0)=1 \text {. }
$$
假设对任意光滑闭曲面 $\boldsymbol{\Sigma}$ ，恒有
$$
\oint_{\Sigma}\left[f^{\prime}(x)+x^2\right] \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+(z+1) f(x) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=0 .
$$
试求 $f(x)$ 的表达式.
计算二重积分 $I=\iint_D x \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$, 其中 $D$ 由 $y=\sqrt{1-x^2}, y=\sqrt{2 x-x^2}$ 与 $x$ 轴所围成的区域.
设 $D=\left\{(x, y): x^2+y^2 \leq 1\right\}$, 实数 $\alpha, \beta$ 满足 $\alpha^2+\beta^2=1$, 计算二重积分
$$
\iint_D \frac{\mathrm{d} x \mathrm{~d} y}{\sqrt{(1-\alpha x+\beta y)^2+(\beta x+\alpha y)^2}} .
$$