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试卷11

数学

一、单选题（共 5 题），每题只有一个选项正确

1. 累次积分

\int_{0}^{\frac{π}{4}} d θ \int_{0}^{2 \cos θ} f (ρ \cos θ, ρ \sin θ) ρ d ρ

等于

A.

\int_{0}^{1} d y \int_{y}^{1 - \sqrt{1 - y^{2}}} f (x, y) d x

B.

\int_{0}^{2} d x \int_{0}^{\sqrt{2 x - x^{2}}} f (x, y) d y

C.

\int_{0}^{2} d ρ \int_{0}^{\frac{π}{4}} f (ρ \cos θ, ρ \sin θ) d θ

D.

\int_{0}^{\sqrt{2}} d ρ \int_{0}^{\frac{π}{4}} f (ρ \cos θ, ρ \sin θ) ρ d θ + \int_{\sqrt{2}}^{2} d ρ \int_{0}^{\arccos \frac{ρ}{2}} f (ρ \cos θ, ρ \sin θ) ρ d θ

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2. 设

D

是以

A (1, 1), B (- 1, 1), C (- 1, - 1)

为三顶点的三角形, 则

I =

\iint_{D} [\sin (x y) \sqrt{x^{2} + 3 y^{2} + 1} + 3 x + 3 y] d x d y =

A.

4

B.

3

C.

2

D.

0

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3. 设

I_{1} = \iint_{D} \sin | \frac{x - y}{2} | d x d y, I_{2} = \iint_{D} \sin {(\frac{x - y}{2})}^{2} d x d y, I_{3} = \iint_{D} \sin {(\frac{x - y}{2})}^{3} d x d y

, 其中

D =

{(x, y) ∣ (x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} ⩽ 2}

, 则

A.

I_{1} < I_{2} < I_{3}

B.

I_{2} < I_{3} < I_{1}

C.

I_{3} < I_{1} < I_{2}

D.

I_{3} < I_{2} < I_{1}

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4. 设平面区域

D

是由

y = x, x = 1

及

x

轴所围成，二重积分

\iint_{D} \frac{1}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} d σ

转换成平面极坐标系下的二次积分，可表示为?

A.

\int_{0}^{\frac{π}{2}} d θ \int_{0}^{\frac{1}{\cos θ}} 1 d r

B.

\int_{0}^{\frac{π}{4}} d θ \int_{0}^{\frac{1}{\cos θ}} 1 d r

C.

\int_{0}^{\frac{π}{4}} d θ \int_{0}^{\frac{1}{\sin θ}} 1 d r

D.

\int_{0}^{\frac{π}{4}} d θ \int_{0}^{\frac{1}{\sin θ}} 1 d r

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5. 函数

f (x, y)

连续，交换二重积分

\int_{0}^{1} d y \int_{y}^{\sqrt{y}} f (x, y) d x

次序，该二重积分可表示为?

A.

\int_{0}^{1} d x \int_{x^{3}}^{x} f (x, y) d y

B.

\int_{0}^{1} d x \int_{x^{4}}^{x} f (x, y) d y

C.

\int_{0}^{1} d x \int_{x^{2}}^{x} f (x, y) d y

D.

\int_{0}^{1} d x \int_{x^{5}}^{x} f (x, y) d y

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二、填空题（共 10 题），请把答案直接填写在答题纸上

6.

\int_{0}^{π} d θ \int_{0}^{\frac{1}{\cos θ}} ρ^{2} d ρ + \int_{1}^{\sqrt{2}} d x \int_{0}^{\sqrt{2 - x^{2}}} \sqrt{x^{2} + y^{2}} d y =

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7.

\int_{0}^{1} d y \int_{y}^{1} x \sqrt{2 x y - y^{2}} d x =

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8.

lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[n]{2} - 1}{\sqrt[n]{2 n + 1}} [\int_{1}^{\frac{1}{2 n}} e^{- y^{2}} d y + \int_{1}^{\frac{3}{2 n}} e^{- y^{2}} d y + \dots + \int_{1}^{\frac{2 n - 1}{2 n}} e^{- y^{2}} d y] =

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9. 设

D

是由

0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1

所确定的平面区域, 则

\iint_{D} \sqrt{x^{2} + y^{2}} d x d y =

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10. 计算积分

\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{3 π}{4}} d θ \int_{0}^{2 \sin θ} [\sin θ + \cos θ \sqrt{1 + r^{2} \sin^{2} θ}] r^{2} d r

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11. 设

f (x, y)

满足

f (x, 1) = 0, f_{y}^{'} (x, 0) = \sin x, f_{y y}^{''} (x, y) = 2 x

, 则

f (x, y) =

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12. 若

\int_{0}^{x} f (t) d t = x e^{- x}

, 则

\int_{1}^{+ \infty} \frac{f (\ln x)}{x} d x =

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13.

\int_{0}^{1} \ln (1 + \sqrt{x}) d x =

________ .

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14. 设

D : 0 ⩽ x ⩽ 1, 0 ⩽ y ⩽ 1, sgn x = {\begin{array}{cl} 1, & x > 0, \\ 0, & x = 0, \\ - 1, & x < 0, \end{array}

则

\iint_{D} max {x, y} sgn (x - y) d x d y =

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15. 已知

f (x, y) = x y + x^{2} y \iint_{D} x y f (x, y) d x d y

, 其中

D : y = x, y = 0, x = 1

所围成区域, 则

\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} =

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三、解答题（共 25 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

16. 设函数

f (x, y)

在区域

D : x^{2} + y^{2} \leq 1

上有二阶连续偏导数，且

\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} = e^{- (x^{2} + y^{2})} .

计算

\iint_{D} (x \frac{\partial f}{\partial x} + y \frac{\partial f}{\partial y}) d x d y

.

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17. 计算三重积分

I = ∭_{Ω} \frac{d V}{{(1 + x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{2}}

，其中

Ω

为

0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1, 0 \leq z \leq 1

.

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18. 计算三重积分

∭_{Ω} x^{3} y^{2} z d V ， Ω

为马鞍面

z = x y

与平面

y = x, x = 1, z = 0

所包围的空间区域。

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19. 求二重积分

I = \iint_{D} | x^{2} + y^{2} - 4 | d x d y

，其中

D = {(x, y) ∣ x^{2} + y^{2} \leq 16}

。

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20. 设

D

是由

y = x^{3}, y = - c^{3}, x = - c (c \neq 0)

围成的积分区域,且

f (x)

是

R

上的连续函数, 求二重积分

\iint_{D} x (1 + y f (1 + | \sin x | + \cos y)) d x d y .

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21. 求曲面积分

I = \iint_{Σ} 4 x z d y d z - 2 y z d z d x + (1 - z^{2}) d x d y

其中

\sum

是由

z = e^{y} (0 ⩽ y ⩽ 1)

绕

z

轴旋转一周得到的曲面，方向取下侧。

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22. 计算二重积分

\iint_{D} \sin (max {x^{2}, y^{2}}) d x d y,

其中区域

D = {(x, y) ∣ 0 \leq x, y \leq \sqrt{π}}

.

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23. 求三重积分

∭_{Ω} x d x d y d z

，其中

Ω

为平面

x + 2 y + z = 1, x = 0, y = 0, z = 0

围成的区域.

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24. 求

\iint_{D} | 3 x + 4 y | d x d y

, 其中

D = {(x, y) ∣ x^{2} + y^{2} ⩽ 1}

.

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25. 计算二重积分:

\iint_{D} \frac{\sin y \cos y}{y} d x d y

，其中

D

为直线

y = x

与抛物线

x = y^{2}

所围成的封闭区域.

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26. 计算含参量反常积分:

\int_{0}^{+ \infty} \frac{\sin (x y)}{y \cdot e^{y}} d y

.

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27.

\iint_{D} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{3}{2}} d x d y

, 其中积分区域

D = {(x, y) ∣ x^{2} + y^{2} \leq 1, x \geq 0}

.

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28.

z = f (x^{2} - y^{2}, e^{x y})

, 其中

f

具有连续二阶偏导数, 求

\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}

.

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29. 计算

\iint_{D} y (1 + x e^{\frac{x^{2} + y^{3}}{2}}) d x d y

, 其中平面区域

D

由直线

y = x, y = - 1

及

x = 1

所围成.

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30. 计算

\iint_{D} | y - x^{2} | max {x, y} d x d y

, 其中

D = {(x, y) ∣ 0 ⩽ x ⩽ 1, 0 ⩽ y ⩽ 1} .

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31. 设区域

D = {(x, y) ∣ x^{2} + y^{2} ⩽ R^{2}}

, 计算

\iint_{D} (\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}}) d x d y

.

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32. 计算二重积分

I = \iint_{D} r^{2} \sin θ \sqrt{1 - r^{2} \cos 2 θ} d r d θ

, 其中

D = {(r, θ) ∣ 0 ⩽ r ⩽ \sec θ, 0 ⩽ θ ⩽ \frac{π}{4}} .

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33. 计算

I = \int_{0}^{1} d x \int_{1 - x}^{\sqrt{1 - x}} \frac{x + y}{x^{2} + y^{2}} d y

.

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34. 计算

\int_{1}^{2} d x \int_{\sqrt{x}}^{x} \sin \frac{π x}{2 y} d y + \int_{2}^{4} d x \int_{\sqrt{x}}^{2} \sin \frac{π x}{2 y} d y

.

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35. 设

f (x) = \int_{x}^{1} \sin (π u^{2}) d u

, 求

\int_{0}^{1} f (x) d x

.

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36. 计算

\int_{0}^{+ \infty} e^{- x^{2}} d x

.

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37. 设

Ω \subset R^{3}

是有界闭区域,

I (Ω) = ∭_{Ω} (x^{2} + \frac{y^{2}}{4} + \frac{z^{2}}{9} - 1) d x d y d z

取得最小值的积分域记为

Ω_{1}

.
(I) 求

I (Ω_{1})

的值;
(II) 计算

\iint_{Σ} \frac{x d y d z + y d z d x + z d x d y}{{(x^{2} + 2 y^{2} + 3 z^{2})}^{\frac{3}{2}}}

, 其中

Σ

是

Ω_{1} (z ⩾ 0)

的上侧边界.

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38. 计算二重积分，

I = \iint_{D} (x + 2 y) d σ

，其中

D

为

x^{2} + y^{2} = 2 x

所围成的区域

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39. 计算二重积分，

I = \int_{\frac{1}{4}}^{\frac{1}{2}} d y \int_{\frac{1}{2}}^{\sqrt{y}} e^{\frac{y}{x}} d x + \int_{\frac{1}{2}}^{1} d y \int_{y}^{\sqrt{y}} e^{\frac{y}{x}} d x

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40. 计算二重积分

\iint_{D} \frac{r \cos θ (1 + r \sin θ) e^{- (\cos θ + \sin θ)}}{\cos θ + \sin θ} d θ d r

, 其中

D = {(r, θ) ∣ r > 0, 0 < θ < \frac{π}{2}}

.

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