ks1-数学组卷-自助组卷

导出试卷打印试卷试卷白板

ks1

数学

一、单选题（共 8 题），每题只有一个选项正确

1. 已知

Q = (\begin{array}{lll} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & t \\ 3 & 6 & 9 \end{array}), P

为三阶非零矩阵, 且满足

P Q = 0

, 则

A.

t = 6

时,

P

的秩必为 1

B.

t = 6

时,

P

的秩必为 2

C.

t \neq 6

时,

P

的秩必为 1

D.

t \neq 6

时,

P

的秩必为 2

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

2. 设

A, B

都是

n

阶非零矩阵，且

A B = 0

，则

A

和

B

的秩

A.

必有一个等于零

B.

都小于

n

C.

一个小于

n

，一个等于

n

D.

都等于

n

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

3. 设

n (n \geq 3)

阶矩阵

A = (\begin{array}{ccccc} 1 & a & a & \dots & a \\ a & 1 & a & \dots & a \\ a & a & 1 & \dots & a \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ a & a & a & \dots & 1 \end{array})

, 若矩阵

A

的秩为

n - 1

，则

a

必为

A.

B.

\frac{1}{1 - n}

C.

-1

D.

\frac{1}{n - 1}

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

4. 设

A

是

m \times n

矩阵，

B

是

n \times m

矩阵，则

A.

当

m > n

时，必有行列式

| A B | \neq 0

B.

当

m > n

时，必有行列式

| A B | = 0

C.

当

n > m

时，必有行列式

| A B | \neq 0

D.

当

n > m

时，必有行列式

| A B | = 0

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

5. 设

A

为

n

阶实矩阵，

A^{T}

是

A

的转置矩阵，则对于线性方程组

(I) : A x = 0

和

(I I) : x^{T} A x = 0

，必有

A.

(I I)

的解都是

(I)

的解，

(I)

的解也是

(I I)

B.

(I I)

的解都是

(I)

的解，但

(I)

解不是

(I I)

的解

C.

(I)

解不是

(I I)

的解，

(I I)

的解也不是

(I)

的解

D.

(I)

解是

(I I)

的解，但

(I I)

的解不是

(I)

的解

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

6. 设三阶矩阵

A = (\begin{array}{lll} a & b & b \\ b & a & b \\ b & b & a \end{array})

，若

A

的伴随矩阵的秩等于1，则必有

A.

a = b

或

a + 2 b = 0

B.

a = b

或

a + 2 b \neq 0

C.

a \neq b

且

a + 2 b = 0

D.

a \neq b

且

a + 2 b \neq 0

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

7. 设

A

是 3 阶方阵，将

A

的第 1 列与第 2 列交换得

B

，再把

B

的第 2 列加到第 3 列得

C

，则满足

A Q = C

的可逆矩阵

Q

为

A.

(\begin{array}{lll} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{array})

B.

(\begin{array}{lll} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array})

C.

(\begin{array}{lll} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{array})

D.

(\begin{array}{lll} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array})

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

8. 设

A

为

m \times n

型矩阵，

B

为

n \times m

型矩阵，

E

为

m

阶单位矩阵. 若

A B = E

，则

A.

秩

r (A) = m

，秩

r (B) = m

B.

秩

r (A) = m

，秩

r (B) = n

C.

秩

r (A) = n

，秩

r (B) = m

D.

秩

r (A) = n

，秩

r (B) = n

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

二、判断题（共 3 题）

9. 设

f (x) = a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0}

为整系数多项式,

a_{n} \neq 0

, 若有理数

\frac{q}{p}

是

f (x)

的根, 则必有

p ∣ a_{0}

, 且

q ∣ a_{n}

, 其中

p, q

为互素的整数.

A.

正确

B.

错误

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

10. 设

σ

是欧氏空间

V

上的线性变换, 则

σ

是正交变换的充分必要条件是对任意的

α, β \in V

, 有

⟨ α, β ⟩ = ⟨ σ (α), σ (β) ⟩

, 其中

⟨ α, β ⟩

表示

α

与

β

的夹角.

A.

正确

B.

错误

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

11. 若

A

和

B

都是

n

阶非零方阵，且

A B = 0

，则

A

的秩必小于

n

A.

正确

B.

错误

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

三、填空题（共 14 题），请把答案直接填写在答题纸上

12. 设

A = (\begin{array}{cccc} a_{1} b_{1} & a_{1} b_{2} & \dots & a_{1} b_{n} \\ a_{2} b_{1} & a_{2} b_{2} & \dots & a_{2} b_{n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n} b_{1} & a_{n} b_{2} & \dots & a_{n} b_{n} \end{array})

, 其中

a_{i} \neq 0, b_{i} \neq 0 (i = 1, 2, \dots, n)

, 则矩阵

A

的秩

r (A) =

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

13. 设

A

是

4 \times 3

矩阵, 且

A

的秩

r (A) = 2

, 而

B = (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 0 \\ - 1 & 0 & 3 \end{array})

, 则

r (A B) =

点赞(0) 错题本(1) 加入试卷

14. 设线性空间

V

上的线性变换

σ

在基

ε_{1}, ε_{2}, ε_{3}

下的矩阵为

(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 0 \\ 3 & 0 & - 1 \\ 0 & 3 & 2 \end{array})

, 则

σ

在基

ε_{1} + ε_{2} + ε_{3}

ε_{2} + ε_{3}, ε_{3}

下的矩阵为

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

15. 设矩阵

A

的初等因子组为

λ^{2}, (λ - 1)^{2}, (λ - 1)^{2}, λ + 1, (λ + 1)^{3}

, 则

A

的最小多项式为

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

16. 设 4 阶方阵

A

的秩为 2 ，则其伴随矩阵

A^{*}

的秩为

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

17. 已知矩阵

A = (\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}) ， B = (\begin{array}{lll} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{array})

, 且矩阵

X

满足

A X A + B X B = A X B + B X A + E

，其中

E

是 3 阶单位阵，求

X

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

18. 设

A = (\begin{array}{cccc} k & 1 & 1 & 1 \\ 1 & k & 1 & 1 \\ 1 & 1 & k & 1 \\ 1 & 1 & 1 & k \end{array})

，且秩

(A) = 3

，则

k =

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

19. 设

n

维向量

α = (a, 0, \dots, 0, a)^{T}, a < 0 ； E

为

n

阶单位矩阵，矩阵

A = E - α α^{T}, B = E + \frac{1}{a} α α^{T}

，其中

A

的逆矩阵为

B

，则

a =

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

20. 设矩阵

A = (\begin{array}{cc} 2 & 1 \\ - 1 & 2 \end{array}) ， E

为二阶单位矩阵，矩阵

B

满足

B A = B + 2 E

，则

| B | =

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

21. 设矩阵

A = (\begin{array}{llll} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array})

，则

A^{3}

的秩为

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

22. 设矩阵

A = (\begin{array}{llll} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array})

，则

A^{3}

的秩为

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

23. 设 3 阶矩阵

A

的特征值为

1, 2, 2, E

为 3 阶单位矩阵，则

| 4 A^{- 1} - E | =

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

24. 设三阶矩阵

A

的特征值互不相同，且行列式

| A | = 0

，则

A

的秩为

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

25. 设

α

为三维单位列向量，

E

为三阶单位矩阵，则矩阵

E - α α^{T}

的秩为

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

四、解答题（共 8 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

26. 设

M_{2} (k)

是数域

k

上所有 2 -级方阵构成的线性空间。
(i). 证明: 矩阵的转置是

M_{2} (k)

上的线性变换。
(ii). 求出转置线性变换在基本矩阵

E_{i j}

构成的基下的矩阵。

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

27. 定义在

V = R^{3}

上的运算

⟨ x, y ⟩_{V} = x_{1} y_{1} + x_{2} y_{2} + (x_{2} + x_{3}) (y_{2} + y_{3})

其中

x = (x_{1}, x_{2}, x_{3}), y = (y_{1}, y_{2}, y_{3})

.
1. 验证

⟨ \cdot, \cdot ⟩_{V}

是

R^{3}

上的一个内积;
2. 求

R^{3}

在

⟨ \cdot, \cdot ⟩_{V}

下的一组标准正交基;
3. 求

β \in V

使得

\forall x \in V : x_{1} + 2 x_{2} = ⟨ x, β ⟩_{V}

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

28.

T \in L (V)

在一组基

ε = (ε_{1}, ε_{2}, ε_{3})

下的矩阵为

T (ε) = (ε) (\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{array})

求

V

所有的

T

-不变子空间.

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

29. 试给出下列命题的真伪. 若命题为真, 请给出简要证明; 若命题为假, 请举出反例.
1.

T \in L (V)

. 若子空间

W \in V

在

T

下不变, 则其补空间

W^{'}

在

T

下也不变;
2. 定义

T \in L (V, W) : T v = ⟨ v, α ⟩ β, β \in W

对

\forall v \in V

成立, 则

T^{*} w = ⟨ w, β ⟩ α, α \in V

对

\forall w \in W

成立;
3.

T \in L (V)

是非幕零算子, 满足

null T^{n - 1} \neq null T^{n - 2}

. 则其极小多项式为

m (λ) = λ^{n - 1} (λ - a) 0 \neq a \in R

A \in R^{n \times n} . S_{1} = A^{T} + A, S_{2} = A^{T} - A

. 则

A

是正规矩阵当且仅当

S_{1} S_{2} = S_{2} S_{1}

.
5.

A \in C^{n \times n}

是正规矩阵, 则

A

的实部矩阵和虚部矩阵是对称矩阵.

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

30.

T \in L (V)

. 有极分解

T = S \sqrt{G}

, 其中

S

是等距同构,

G = T^{*} T

. 证明以下条件等价:
1.

T

是正规算子;
2.

G S = S G

;
3.

G

的所有特征空间

E (λ, G)

都是

S

-不变的.

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

31. 设

A

为

m

阶实对称矩阵且正定，

B

为

m \times n

实矩阵，

B^{T}

为

B

的转置矩阵，试证:

B^{T} A B

为正定矩阵的充分必要条件是

B

的秩

r (B) = n

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

32. 设矩阵

A

的伴随矩阵

A^{*} = (\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 & 8 \end{array})

，

A B A^{- 1} = B A^{- 1} + 3 E, E

为 4 阶单位矩阵，求矩阵

B

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

33. 设

α, β

为 3 维列向量，矩阵

A = α α^{T} + β β^{T}

，其中

α^{T}, β^{T}

分别是

α, β

的转置. 证明:
(1) 秩

r (A) \leq 2

;
(2) 若

α, β

线性相关，则秩

r (A) < 2

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

他的试卷

试卷12 试卷12 试卷11 试卷10 试卷9

试卷二维码

分享此二维码到群，让更多朋友参与