一、单选题 （共 27 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
已知圆柱和圆锥的底面半径相等, 侧面积相等, 且它们的高均为 $\sqrt{3}$, 则圆椎的体积为
$\text{A.}$ $2 \sqrt{3} \pi$
$\text{B.}$ $3 \sqrt{3} \pi$
$\text{C.}$ $6 \sqrt{3} \pi$
$\text{D.}$ $9 \sqrt{3} \pi$
某农业研究部门在面积相等的 100 块稳田上种植一种新型水稻, 得到各块稳田的亩产量 (单位: kg) 并整理部分数据如下表所示:
据表中数据, 结论中正确的是
$\text{A.}$ 100 块稻田亩产量中位数小于 $1050 \mathrm{~kg}$
$\text{B.}$ 100 块稻田中的亩产量低于 $1100 \mathrm{~kg}$ 的稻田所占比例超过 $20 \%$
$\text{C.}$ 100 块稻田亩产量的标差介于 $200 \mathrm{~kg}$ 至 $300 \mathrm{~kg}$ 之间
$\text{D.}$ 100 块稻田亩产量的平均值介于 $900 \mathrm{~kg}$ 至 $1000 \mathrm{~kg}$ 之间
已知正三棱台 $A B C-A_1 B_1 C_1$ 的体积为 $\frac{52}{3}, A B=6, A B=2$, 则 $A_1 A$ 与折面 $A B C$ 所成角的正切值
$\text{A.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
蹴鞠 (如图所示), 又名蹴球, 蹴圆, 筑球, 踢圆等, 蹴有用脚蹴、踢、蹋, 鞠最早系外包皮革、内实米的球, 因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动,类似今日的足球. 2006 年 5 月 20 日, 蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录, 已知某鞠的表面上有四个点 $\mathrm{A}$ 、 $\mathrm{B} 、 \mathrm{C} 、 \mathrm{D}$ 满足 $\mathrm{AB}=\mathrm{CD}=5, \mathrm{BD}=\mathrm{AC}=6, \mathrm{AD}=\mathrm{BC}=7$, 则该的表面积为
$\text{A.}$ $55 \pi$
$\text{B.}$ $60 \pi$
$\text{C.}$ $63 \pi$
$\text{D.}$ $68 \pi$
如图, 已知正方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 的棱长为 $\sqrt{6}$, 圆锥 $A_1 O$ 在正方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 内, 且 $A_1 C$ 垂直圆锥 $A_1 O$ 的底面,当该圆锥底面积最大时, 圆锥体积为
$\text{A.}$ $\frac{3 \sqrt{2}}{2} \pi$
$\text{B.}$ $2 \sqrt{2} \pi$
$\text{C.}$ $\frac{9 \sqrt{2}}{8} \pi$
$\text{D.}$ $\frac{8 \sqrt{2}}{3} \pi$
如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是 S , 那么圆柱的体积等于
$\text{A.}$ $\frac{S}{2} \sqrt{S}$
$\text{B.}$ $\frac{S}{2} \sqrt{\frac{S}{\pi}}$
$\text{C.}$ $\frac{S}{4} \sqrt{S}$
$\text{D.}$ $\frac{S}{4} \sqrt{\frac{S}{\pi}}$
如图, 正三棱锥 $S A B C$ 的侧棱与底面边长相等, 如果 $E 、 F$ 分别为 $S C 、 A B$ 的中点, 那么异面直线 EF 与 SA 所成的角等于
$\text{A.}$ $90^{\circ}$
$\text{B.}$ $60^{\circ}$
$\text{C.}$ $45^{\circ}$
$\text{D.}$ $30^{\circ}$
以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有
$\text{A.}$ 70 个
$\text{B.}$ 64 个
$\text{C.}$ 58 个
$\text{D.}$ 52 个
已知轴截面是正方形的圆柱的高与球的直径相等, 则圆柱的全面积与球的表面积的比是
$\text{A.}$ $6: 5$
$\text{B.}$ $5: 4$
$\text{C.}$ $4: 3$
$\text{D.}$ $3: 2$
在四棱锥的四个侧面中, 直角三角形最多可有
$\text{A.}$ 1 个
$\text{B.}$ 2 个
$\text{C.}$ 3 个
$\text{D.}$ 4 个
在棱长为 1 的正方体 $A B C D-A_1 B 1 C 1 D 1$ 中, $M$ 和 $N$ 分别为 $A 1 B 1$ 和 $B B 1$ 的中点,那么直线 AM 与 CN 所成角的余弦值是
$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{10}}{10}$
$\text{C.}$ $\frac{3}{5}$
$\text{D.}$ $\frac{2}{5}$
长方体的全面积为 11 , 十二条棱长度之和为 24 , 则这个长方体的一条对角线长为
$\text{A.}$ $2 \sqrt{3}$
$\text{B.}$ $\sqrt{14}$
$\text{C.}$ 5
$\text{D.}$ 6
圆柱轴截面的周长 1 为定值, 那么圆柱体积的最大值是
$\text{A.}$ $\left(\frac{1}{6}\right)^3 \pi$
$\text{B.}$ $\frac{1}{9}\left(\frac{1}{2}\right)^3 \pi$
$\text{C.}$ $\left(\frac{1}{4}\right)^3 \pi$
$\text{D.}$ $2\left(\frac{1}{4}\right)^3 \pi$
直角梯形的一个内角为 $45^{\circ}$, 下底长为上底长的 $\frac{3}{2}$, 这个梯形绕下底所在的直线旋转一周所成的旋转体的全面积为 $(5+\sqrt{2}) \pi$, 则旋转体的体积为
$\text{A.}$ $2 \pi$
$\text{B.}$ $\frac{4+\sqrt{2}}{3} \pi$
$\text{C.}$ $\frac{5+\sqrt{2}}{3} \pi$
$\text{D.}$ $\frac{7}{3} \pi$
已知正六棱台的上、下底面边长分别为 2 和 4 , 高为 2 , 则其体积为
$\text{A.}$ $32 \sqrt{3}$
$\text{B.}$ $28 \sqrt{3}$
$\text{C.}$ $24 \sqrt{3}$
$\text{D.}$ $20 \sqrt{3}$
已知过球面上 $A 、 B 、 C$ 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半, 且 $A B=B C=C A=2$, 则球面面积是
$\text{A.}$ $\frac{16}{9} \pi$
$\text{B.}$ $\frac{8}{3} \pi$
$\text{C.}$ $4 \pi$
$\text{D.}$ $\frac{64}{9} \pi$
圆锥母线长为 1 , 侧面展开图圆心角为 $240^{\circ}$, 该圆锥的体积是
$\text{A.}$ $\frac{2 \sqrt{2} \pi}{81}$
$\text{B.}$ $\frac{8 \pi}{81}$
$\text{C.}$ $\frac{4 \sqrt{5} \pi}{81}$
$\text{D.}$ $\frac{10 \pi}{81}$
将边长为 $a$ 的正方形 $A B C D$ 沿对角线 $A C$ 折起, 使得 $B D=a$, 则三棱锥 $D-A B C$ 的体积为
$\text{A.}$ $\frac{a^3}{6}$
$\text{B.}$ $\frac{a^3}{12}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{3}}{12} a^3$
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{2}}{12} a^3$
长方体一个顶点上三条棱的长分别是 $3,4,5$, 且它的八个顶点都在同一个球面上, 这个球的表面积是
$\text{A.}$ $20 \sqrt{2} \pi$
$\text{B.}$ $25 \sqrt{2} \pi$
$\text{C.}$ $50 \pi$
$\text{D.}$ $200 \pi$
圆台上、下底面积分别为 $\pi 、 4 \pi$, 侧面积为 $6 \pi$, 这个圆台的体积是
$\text{A.}$ $\frac{2 \sqrt{3} \pi}{3}$
$\text{B.}$ $2 \sqrt{3} \pi$
$\text{C.}$ $\frac{7 \sqrt{3} \pi}{6}$
$\text{D.}$ $\frac{7 \sqrt{3} \pi}{3}$
已知圆锥的全面积是底面积的 3 倍, 那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为
$\text{A.}$ $120^{\circ}$
$\text{B.}$ $150^{\circ}$
$\text{C.}$ $180^{\circ}$
$\text{D.}$ $240^{\circ}$
如果棱台的两底面积分别是 $S, S^{\prime}$, 中截面的面积是 $S_0$, 那么
$\text{A.}$ $2 \sqrt{2}=\sqrt{S}+\sqrt{S^{\prime}}$
$\text{B.}$ $S_0=\sqrt{S^{\prime} S}$
$\text{C.}$ $2 S_0=S+S^{\prime}$
$\text{D.}$ $S_0^2=2 S^{\prime} S$
球面上有 3 个点, 其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的 $1 / 6$, 经过这 3 个点的小圆的周长为 $4 \pi$, 那么这个球的半径为
$\text{A.}$ $4 \sqrt{3}$
$\text{B.}$ $2 \sqrt{3}$
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ $\sqrt{3}$
若于毫升水倒人底面半径为 2 cm 的圆杜形器皿中, 量得水面的高度为 6 cm , 若将这些水倒人轴截面是正三角形的倒圆锥形器且中，则水面的高度是
$\text{A.}$ $6 \sqrt{3} \mathrm{~cm}$
$\text{B.}$ $6 \mathrm{~cm}$
$\text{C.}$ $2 \sqrt[3]{18} \mathrm{~cm}$
$\text{D.}$ $3 \sqrt[3]{12} \mathrm{~cm}$
如图, 在多面体 ABCDEF 中, 已知面 ABCD 是边长为 3 的正方形, $\mathrm{EF} / / \mathrm{AB}$, $\mathrm{EF}=3 / 2, \mathrm{EF}$ 与面 AC 的距离为 2 , 则该多面体的体积为
$\text{A.}$ $9 / 2$
$\text{B.}$ 5
$\text{C.}$ 6
$\text{D.}$ $15 / 2$
某社区通过公益讲座宣传交通法规. 为了解讲座效果, 随机抽取 10 位居民, 分别在讲座前、后各回答一份交通法规知识问卷, 满分为 100 分.他们得分的茎叶图如图所示 ("叶"是个位数字), 则下列选项叙述错误的是
$\text{A.}$ 讲座后的答卷得分整体上高于讲座前的得分
$\text{B.}$ 讲座前的答卷得分分布较讲座后分散
$\text{C.}$ 讲座后答卷得分的第80百分位数为95
$\text{D.}$ 讲座前答卷得分的极差大于讲座后得分的极差
二、多选题 （共 4 题，每小题 5 分，共 20 分, 每题有多个选项符合要求，全部选对得 5 分，部分选对得 2 分，有选错得 0 分）
如图, 已知圆柱母线长为 4 , 底面圆半径为 $2 \sqrt{3}$, 梯形 $\mathrm{ABCD}$ 内接于下底面圆, $\mathrm{CD}$ 是直径, $A B / / C D, A B=6$, 过点 $A, B, C, D$ 向上底面作垂线, 垂足分别为 $A_1, B_1, C_1, D_1$, 点 $M$, $\mathrm{N}$ 分别是线段 $\mathrm{CC}_1, \mathrm{AA}_1$ 上的动点, 点 $\mathrm{Q}$ 为上底面圆内 (含边界) 任意一点, 则
$\text{A.}$ 若平面 $\mathrm{DMN}$ 交线段 $\mathrm{BB}_1$ 于点 $\mathrm{R}$, 则 $\mathrm{NR} / / \mathrm{DM}$
$\text{B.}$ 若平面 $D M N$ 过点 $B_1$, 则直线 $M N$ 过定点
$\text{C.}$ $\triangle \mathrm{ABQ}$ 的周长为定值
$\text{D.}$ 当点 $\mathrm{Q}$ 在上底面圆周上运动时, 记直线 $\mathrm{QA}, \mathrm{QB}$ 与下底面所成角分别为 $\alpha, \beta$, 则 $\frac{1}{\tan ^2 \alpha}+\frac{1}{\tan ^2 \beta}$ 的取值范围是 $\left[\frac{3}{4} ， \frac{9}{2}\right]$
已知数据 $x_1, x_2, x_3, \cdots, x_{10}$, 满足: $x_i-x_{i-1}=2(2 \leqslant \mathrm{i} \leqslant 10)$, 若去掉 $x_1, x_{10}$ 后组成一组新数据, 则新数据与原数据相比,下列说法正确的是
$\text{A.}$ 中位数不变
$\text{B.}$ 若 $x_1=1$, 则数据 $x_1, x_2, x_3, \cdots, x_{10}$ 的第 75 百分位数为 13
$\text{C.}$ 平均数不变
$\text{D.}$ 方差变小
下列论述正确的有
$\text{A.}$ 若 $A, B$ 两组成对数据的样本相关系数分别为 $r_A=0.97, r_B=-0.99$, 则 $A$ 组数据比 $B$ 组数据的相关性较强
$\text{B.}$ 数据 $49,21,32,29,38,65,30,50$ 的第 60 百分位数为 38
$\text{C.}$ 若随机变量 $X \sim N\left(7, \sigma^2\right)$, 且 $P(X>9)=0.12$, 则 $P(5 < X < 7)=0.38$
$\text{D.}$ 若样本数据 $x_1, x_2, \cdots, x_6$ 的方差为 1 , 则数据 $2 x_1-1,2 x_2-1, \cdots, 2 x_6-1$ 的方差为 4
甲乙两名同学参加系列知识问答节目，甲同学参加了 5 场，得分是 $3,4,5,5,8$ ，乙同学参加了 7 场，得分是 $3,3,4$ ， $5 ， 5 ， 7 ， 8$ ，那么有关这两名同学得分数据下列说法正确的是
$\text{A.}$ 得分的中位数甲比乙要小
$\text{B.}$ 两人的平均数相同
$\text{C.}$ 两人得分的极差相同
$\text{D.}$ 得分的方差甲比乙小
三、填空题 （共 17 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
过点 $P(4,4)$ 作抛物线 $y^2=4 x$ 的切线交 $y$ 轴于点 $Q$, 焦点为 $F$, 则四边形 $O F P Q$ 的面积为
四面体棱长为 $4,7,20,22,28, t, t \in Z$, 求 $t$ 的最小值是
智能体温计由于测温方便、快捷, 已经逐渐代替水银体温计应用于日常体温检测. 调查发现,使用水银体温计测温结果与人体的真实体温基本一致, 而使用智能体温计测量体温可能会产生误差. 对同一人而言, 如果用智能体温计与水银体温计测温结果相同, 我们认为智能体温计“测温准确”; 否则, 我们认为智能体温计“测温失误”. 现在某社区随机抽取了 20 人用两种体温计进行体温检测, 数据如表. 用频率估计概率, 解答下列问题:
(1) 从该社区中任意抽查 3 人用智能体温计测量体温, 设随机变量 $\mathrm{X}$ 为使用智能体温计“测温准确”的人数, 求 $\mathrm{X}$ 的分布列与数学期望值;
(2) 医学上通常认为, 人的体温不低于 $37.3^{\circ} \mathrm{C}$ 且不高于 $38^{\circ} \mathrm{C}$ 时处于“低热”状态. 该社区某一天用智能体温计测温的结果显示, 有 3 人的体温都是 $37.3^{\circ} \mathrm{C}$, 能否由上表中的数据来认定这 3 个人中至少有 1 人处于“低热”状态? 说明理由.
四边形 $\mathrm{ABCD}$ 是平行四边形, $\angle \mathrm{CBA}=\frac{\pi}{4}$, 四边形 $\mathrm{ABEF}$ 是梯形, $\mathrm{BE} / / \mathrm{AF}$, 且 $\mathrm{AB} \perp \mathrm{AF}$, $\mathrm{AB}=\mathrm{BE}=\frac{1}{2} \mathrm{AF}=1, \mathrm{BC}=\sqrt{2}$, 平面 $\mathrm{ABCD} \perp$ 平面 $\mathrm{ABEF}$.
(1) 求证: $\mathrm{AC} \perp \mathrm{EF}$;
(2) 求直线 $\mathrm{EC}$ 与平面 $\mathrm{EFD}$ 所成角的正弦值.
已知甲、乙两个圆台上下底面的半径均为 $r_2$ 和 $r_1$, 母线长分别为 $2\left(r_1-r_2\right)$ 和 $3\left(r_1-r_2\right)$, 则两个圆台的体积
如图, 三棱柱 $A B C-A_1 B_1 C_1$ 中, 若 $E 、 F$ 分别为 $A B 、 A C$ 的中点, 平面 $\mathrm{EB}_1 \mathrm{C}_1 \mathrm{~F}$ 将三棱柱分成体积为 $V_1 、 V_2$ 的两部分, 那么 $V_1: V_2=$
已知正三棱台上底面边长为 2 , 下底面边长为 4 , 且侧棱与底面所成的角是 $45^{\circ}$,那么这个正三棱台的体积等于
在球面上有四个点 $P 、 A 、 B 、 C$, 如果 $P A 、 P B 、 P C$ 两两互相垂直, 且 $P A=P B=P C$ $=a$. 那么这个球面的面积是
建造一个容积为 $8 \mathrm{~m}^3$, 深为 2 m 的长方体无盖水池, 如果池底和池壁的造价每平方米分别为 120 元和 80 元,则水池的最低造价为