一、单选题 （共 16 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n(n>1)$ 是来自总体 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)$ 的简单随机样本, 其中 $\mu$ 末知, $\bar{X}$ 是 样本均值, 则以下四个选项中期望是 $\sigma^2$ 的统计量的是
$\text{A.}$ $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2$
$\text{B.}$ $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\mu\right)^2$
$\text{C.}$ $\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n-1}\left(X_{i+1}-X_i\right)^2$
$\text{D.}$ $\frac{1}{2(n-1)} \sum_{i=1}^{n-1}\left(X_{i+1}-X_i\right)^2$
设 $(X, Y) \sim N\left(\mu_1, \mu_2 ; \sigma_1^2, \sigma_2^2 ; \rho\right)$, 其中 $\sigma_1>0, \sigma_2>0$, 则下列说法中正确的个数有 （ ） 个。
①. 令 $\left\{\begin{array}{l}U=\frac{X-\mu_1}{\sigma_1} \\ V=\frac{Y-\mu_2}{\sigma_2}\end{array}\right.$, 则 $(U, V) \sim N(0,0 ; 1,1 ; \rho)$
②. ①的条件下 $E\left((U-V)^2\right)=\rho$
③. ①的条件下, $V=v$ 的条件下: $U \sim N\left(\rho v, 1-\rho^2\right)$
④. ①的条件下, 若 $\rho=0$, 那么 $E\left(U^4 V^4\right)=3$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
设总体 $X$ 的均值为 $\mu$, 标准差为 $\sigma=2$, 现抽样 $X_1, X_2, \ldots, X_n$, 是 $X$ 的简单随机样本, 且 $\bar{X}$ 是样 本 $X_1, \ldots, X_n$ 的样本均值, 若要至少使得 $99.7 \%$ 的概率保证 $|\bar{X}-\mu| < 0.5$, 试利用中心极限定理, 估计出 样本容量 $n$ 应该不小于（）．(其中已知, 正态分布表 $\Phi(2.97)=0.9985$ )
$\text{A.}$ 565
$\text{B.}$ 142
$\text{C.}$ 12
$\text{D.}$ 24
设 $X, Y$ 为两个随机变量, 其中 $E(X)=2, E(Y)=-1, D(X)=9, D(Y)=16$, 且 $X, Y$ 的相 关系数为 $\rho=-\frac{1}{2}$, 由切比雪夫不等式得 $P\{|X+Y-1| \leqslant 10\} \geqslant $ ________.
$\text{A.}$ $\frac{21}{25}$
$\text{B.}$ $\frac{87}{100}$
$\text{C.}$ $\frac{3}{4}$
$\text{D.}$ $\frac{4}{5}$
设总体 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right),\left(X_1, X_2, \cdots, X_n\right)$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本, 令 $\bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$, $T=\sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2$, 则下列结论正确的是
$\text{A.}$ $\frac{n(\bar{X}-\mu)^2+T}{\sigma^2} \sim \chi^2(n)$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu)}{\sqrt{T}} \sim t(n-1)$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{(n-1)}(\bar{X}-\mu)}{\sqrt{T}} \sim t(n-1)$
$\text{D.}$ $\frac{\bar{X}-\mu}{\sqrt{T}} \sim t(n-1)$
将一枚均匀的硬市独立地拖掷 100 次, 记正面次数为 $X$, 利用中心极限定理估计 $P\{40 \leqslant X \leqslant 60\} \approx$
$\text{A.}$ 0.5 .
$\text{B.}$ $1-\Phi(1)$.
$\text{C.}$ $\Phi(1)$.
$\text{D.}$ $2 \Phi(2)-1$.
设随机变量 $X$ 服从正态分布 $N(0,1), Y$ 服从正态分布 $N(1,4)$, 对给定的 $\alpha(0 < \alpha < 1)$, 数 $u_\alpha$满足 $P\left\{Y>u_a\right\}=\alpha$. 若 $P\{|X| < x\}=\alpha$, 则 $x$ 等于
$\text{A.}$ $u_{\frac{a}{2}}$.
$\text{B.}$ $u_{\frac{1-\alpha}{2}}$.
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}\left(u_{\frac{\alpha}{2}}-1\right)$.
$\text{D.}$ $\frac{1}{2}\left(u_{\frac{1-\alpha}{2}}-1\right)$.
设随机变量序列 $X_1, X_2, \cdots, X_n, \cdots$ 独立同分布, 其中 $X_i(i=1,2, \cdots)$ 服从参数为 $2, \frac{1}{2}$ 的二项分布 $B\left(2, \frac{1}{2}\right)$. 若当 $n \rightarrow \infty$ 时, $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^k$ 依概率收敛于 $a_k(k=1,2,3)$, 则 $a_1+a_2+a_3=$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 3
$\text{C.}$ 5
$\text{D.}$ 7
设 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 是来自正态总体 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$ 的样本, $\bar{x}, s^2$ 分别为样本均值和样本方差,则 $\frac{(n-1) s^2}{\sigma^2} \sim$
$\text{A.}$ ${\chi}^2(n-1)$
$\text{B.}$ $\chi^2(n)$
$\text{C.}$ $t(n-1)$
$\text{D.}$ $t(n)$
设总体 $X$ 在 $[\theta, \theta+1]$ 上服从均匀分布, $\theta$ 未知, $\left(X_1, X_2, \cdots X_n\right)$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本, 则下列统计量不可作为 $\theta$ 的最大似然估计量的是
$\text{A.}$ $\min \left\{\boldsymbol{X}_1, \boldsymbol{X}_2, \cdots \boldsymbol{X}_n\right\}$
$\text{B.}$ $\max \left\{X_1, X_2, \cdots X_n\right\}-1$
$\text{C.}$ $\frac{\max \left\{X_1, X_2, \cdots X_n\right\}+\min \left\{X_1, X_2, \cdots X_n\right\}-1}{2}$
$\text{D.}$ $\max \left\{X_1, X_2, \cdots X_n\right\}-2$
设随机变量 $X_1, X_2, \cdots, X_n, \cdots$ 相互独立且均服从参数为 $\lambda$ 的泊松分布, 则随机变量序列中不满足切比雪夫大数定律的为
$\text{A.}$ $X_1, X_2, \cdots, X_n, \cdots$.
$\text{B.}$ $X_1+1, X_2+2, \cdots, X_n+n, \cdots$.
$\text{C.}$ $X_1, \frac{1}{2} X_2, \cdots, \frac{1}{n} X_n, \cdots$.
$\text{D.}$ $X_1, 2 X_2, \cdots, n X_n, \cdots$.
设 $X_1, X_2, \cdots, X_6$ 是来自 $[0,3]$ 上均匀分布总体的简单随机样本, 则 $\sum_{i=1}^1 X_i$ 与 $\sum_{j=3}^6 X_j$ 的相关系数为
$\text{A.}$ $\frac{1}{6}$.
$\text{B.}$ $\frac{1}{4}$.
$\text{C.}$ $\frac{1}{3}$.
$\text{D.}$ $\frac{1}{2}$.
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n, \cdots$ 为独立同分布随机变量序列, 且均服从参数为 $\lambda(\lambda>1)$ 的指数分布, 记 $\Phi(x)$ 为标准正态分布函数, 则
$\text{A.}$ $\lim _{n \rightarrow \infty} P\left\{\frac{\sum_{i=1}^n X_i-n \lambda}{\lambda \sqrt{n}} \leqslant x\right\}=\Phi(x)$
$\text{B.}$ $\lim _{n \rightarrow \infty} P\left\{\frac{\sum_{i=1}^n X_i-n \lambda}{\sqrt{\lambda n}} \leqslant x\right\}=\Phi(x)$
$\text{C.}$ $\lim _{n \rightarrow \infty} P\left\{\frac{\lambda \sum_{i=1}^n X_i-n}{\sqrt{n}} \leqslant x\right\}=\Phi(x)$
$\text{D.}$ $\lim _{n \rightarrow \infty} P\left\{\frac{\sum_{i=1}^n X_i-\lambda}{\sqrt{n \lambda}} \leqslant x\right\}=\Phi(x)$
设 $X_1, X_2, \cdots, X_{100}$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本, 其中 $P\{X=0\}=P\{X=1\}=\frac{1}{2}$. $\Phi(x)$ 表示标准正态分布函数, 则利用中心极限定理可得 $P\left\{\sum_{i=1}^{100} X_i \leqslant 55\right\}$ 的近似值为
$\text{A.}$ $1-\Phi(1)$
$\text{B.}$ $\Phi(1)$
$\text{C.}$ $1-\Phi(0.2)$
$\text{D.}$ $\Phi(0.2)$
设总体 $X$ 的概率分布为 $P\{X=1\}=\frac{1-\theta}{2}, P\{X=2\}=P\{X=3\}=\frac{1+\theta}{4}$. 利用来自总体 $X$ 的样本值 $1,3,2,2,1,3,1,2$, 可得 $\theta$ 的最大似然估计值为
$\text{A.}$ $\frac{1}{4}$
$\text{B.}$ $\frac{3}{8}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{5}{8}$
一批零件的长度服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$, 其中 $\mu, \sigma^2$ 均未知. 现从中随机抽取 16 个零件, 测得样本均值 $\bar{x}=20 \mathrm{~cm}$, 样本标准差 $s=1 \mathrm{~cm}$, 则 $\mu$ 的置信水平为 0.90 的置信区间为
$\text{A.}$ $\left(20-\frac{1}{4} t_{0.05}(16), 20+\frac{1}{4} t_{0.05}(16)\right)$
$\text{B.}$ $\left(20-\frac{1}{4} t_{0.1}(16), 20+\frac{1}{4} t_{0.1}(16)\right)$
$\text{C.}$ $\left(20-\frac{1}{4} t_{0.05}(15), 20+\frac{1}{4} t_{0.05}(15)\right)$
$\text{D.}$ $\left(20-\frac{1}{4} t_{0.1}(15), 20+\frac{1}{4} t_{0.1}(15)\right)$
二、填空题 （共 8 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
设二维总体 $(X, Y)$ 的概率密度为
$$
f(x, y)= \begin{cases}2 \theta^{-2} \mathrm{e}^{-\frac{x+y}{\theta}}, & 0 < x < y < +\infty, \\ 0, & \text { 其他 }\end{cases}
$$
( $\left.X_1, Y_1\right),\left(X_2, Y_2\right), \cdots,\left(X_n, Y_n\right)$ 为 $(X, Y)$ 的一组简单随机样本, 则 $\theta$ 的最大似然估计量 $\hat{\theta}=$
设随机变量 $X$ 的数学期望 $E(X)=\mu$, 方差 $D(X)=\sigma^2$, 则由切比雪夫不等式有 $P\{\mid X$ $-\mu \mid < 3 \sigma\} \geq$
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自标准正态总体的简单随机样本, 且 $1 \leq m < n$, 则当常数 $c=$时, 统计量 $c\left(\sum_{i=1}^m X_i\right)^2 / \sum_{i=m+1}^n X_i^2$ 服从 $F$ 分布.
设随机变量 $X_1, X_2, \cdots, X_{2 n}$ 相互独立, 且均服从二项分布 $B\left(1, \frac{1}{2}\right)$, 若根据中心极限定理, 有
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} P\left\{a \sum_{i=1}^n\left(X_{2 i}-X_{2 i-1}\right) \leqslant \sqrt{n} x\right\}=\Phi(x),
$$
其中 $\Phi(x)$ 为标准正态分布函数, 则 $a=$
从编号为 1 到 9 的九张卡片中有放回地任取 5 张, 试用切比雪夫不等式估计所取号码之和在 15 和 35 之间的概率至少为
已知随机变量 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的泊松分布, 则 $E\left[1+(-1)^x\right]=$
设某种电气元件不能承受超负荷试验的概率为 0.05 . 现在对 100 个这样的元件进行超负荷试验, 以 $X$ 表示 “不能承受试验而烧毁的元件数” , 则根据中心极限定理, $P\{5 \leqslant X \leqslant 10\} $ $(\Phi(2.29)=0.989)$
将一枚骰子重复掷 $n$ 次, 则当 $n \rightarrow \infty$ 时, $n$ 次掷出点数的算术平均值 $\bar{X}_n$ 依概率收敛于
三、解答题 （ 共 16 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设总体 $X$ 的概率密度为
(f) $f(x ; \sigma)=\frac{1}{2 \sigma} \mathrm{e}^{-\frac{|x|}{\sigma}},-\infty < x < +\infty$
其中 $\sigma \in(0,+\infty)$ 为末知参数, $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 来自总体 $X$ 的简单随机样本.
(1)求 $\sigma$ 的最大似然估计量 $\hat{\sigma}$;
(2)求 $E(\hat{\sigma})$ 和 $D(\hat{\sigma})$.
设随机变量$X$的概率密度
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{c}
x, 0 \leq x \leq 1 \\
c-x, 1 < x \leq 2, \quad \text { 记 } Y=2 X-1 ， 0 \text {, 他他 } \\
0, \text { 其 }
\end{array}\right.
$$
记$Y=2X-1$ 求
(1) 常数 $c$;
(2) $P\left(X < \frac{7}{6}\right)$;
(3) $Y$ 的密度函数 $f_Y(y)$
设 $(X, Y)$ 的联合密度函数为 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}y, & 0 < x < 2,0 < y < 1 \\ 0, & \text { 其他 }\end{array}\right.$, 问:
（1） $X, Y$ 独立吗？说明理由;
(2) $E\left(X^2 Y\right)$;
(3) $P(X>Y)$
设总体 $\mathrm{X}$ 的密度函数为 $f(x, \beta)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{\beta}{x^{\beta+1}}, & x>1 \\ 0, & x \leq 1\end{array}\right.$
其中末知参数 $\beta>1, X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为取自总体 $\mathrm{X}$ 的简单随机样本, 求参数 $\beta$ 的矩估计量和极大似然估计量.
某单位有 200 台分机, 每台分机有 $5 \%$ 的时间要使用外线通话. 假定每台分机是否使用外线是相互 独立的, 试用中心极限定理估计该单位至少要装多少条外线, 才能以 $99 \%$ 以上的概率保证分机使用外线时不 等待.
(已知 $\Phi(2.33)=0.99$, 其中 $\Phi(x)$ 是标准正态分布 $N(0,1)$ 的分布函数.)
叙述大数定理, 并证明下列随机变量序列服从大数定理。
$$
\xi_n \sim\left(\begin{array}{lll}
-\sqrt{n} & 0 & \sqrt{n} \\
1 / n & 1-2 / n & 1 / n
\end{array}\right), \mathrm{n}=2,3,4 \cdots
$$
已知 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right), Y=\mathrm{e}^X$.
(1) 求随机变量 $Y$ 的分布函数;
(2) 设 $Y_1, Y_2, \cdots, Y_n$ 是总体 $Y$ 的简单随机样本, 若 $\sigma^2$ 已知, 求参数 $\mu$ 的矩估计量;
(3) 若 $\sigma^2$ 未知, 求参数 $\mu$ 与 $\sigma^2$ 的最大似然估计量.
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为总体的一个样本, $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 为一相应的样本值.求下列各总体的概率密度或分布律中的未知参数的矩估计量和矩估计值.
(1) $f(x)= \begin{cases}\theta c^\theta x^{-(\theta+1)}, & x>c \\ 0, & \text { 其他, }\end{cases}$其中 $c>0$ 为已知, $\theta>1, \theta$ 为末知参数.
(2) $f(x)= \begin{cases}\sqrt{\theta} x^{\sqrt{\theta}-1}, & 0 \leqslant x \leqslant 1 \\ 0, & \text { 其他, }\end{cases}$其中 $\theta>0, \theta$ 为未知参数.
(3) $P\{X=x\}=\left(\begin{array}{l}m \\ x\end{array}\right) p^x(1-p)^{m-x}, x=0,1,2, \cdots, m$,其中 $0 < p < 1, p$ 为未知参数.
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为总体的一个样本, $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 为一相应的样本值.求下列各参数的最大似然估计和估计量.
(1) $f(x)= \begin{cases}\theta c^\theta x^{-(\theta+1)}, & x>c \\ 0, & \text { 其他, }\end{cases}$其中 $c>0$ 为已知, $\theta>1, \theta$ 为末知参数.
(2) $f(x)= \begin{cases}\sqrt{\theta} x^{\sqrt{\theta}-1}, & 0 \leqslant x \leqslant 1 \\ 0, & \text { 其他, }\end{cases}$其中 $\theta>0, \theta$ 为未知参数.
(3) $P\{X=x\}=\left(\begin{array}{l}m \\ x\end{array}\right) p^x(1-p)^{m-x}, x=0,1,2, \cdots, m$,其中 $0 < p < 1, p$ 为未知参数.
（1）设总体X具有分布率
其中 $\theta(0 < \theta < 1)$ 为末知参数. 已知取得了样本值 $x_1=1, x_2=2, x_3=1$. 试求 $\theta$ 的矩估计值和最大似然估计值.
（2）设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自参数为 $\lambda$ 的泊松分布总体的一个样本, 试求 $\lambda$的最大似然估计量及矩估计量.
（3）设随机变量 $X$ 服从以 $r, p$ 为参数的负二项分布,其分布律为
$$
P\left\{X=x_k\right\}=\left(\begin{array}{c}
x_k-1 \\
r-1
\end{array}\right) p^r(1-p)^{x_k-r}, \quad x_k=r, r+1, \cdots,
$$
其中 $r$ 已知, $p$ 未知. 设有样本值 $x_1, x_2, \cdots, x_n$, 试求 $p$ 的最大似然估计值.
设某种电子器件的寿命 (以 $\mathrm{h}$ 计) $T$ 服从双参数的指数分布, 其概率密度为
$$
f(t)= \begin{cases}\frac{1}{\theta} \mathrm{e}^{-(t-c) / \theta}, & t \geqslant c, \\ 0, & \text { 其他, }\end{cases}
$$
其中 $c, \theta(c, \theta>0)$ 为未知参数. 自一批这种器件中随机地取 $n$ 件进行寿命试验.设它们的失效时间依次为 $x_1 \leqslant x_2 \leqslant \cdots \leqslant x_n$.
(1) 求 $\theta$ 与 $c$ 的最大似然估计值.
(2) 求 $\theta$ 与 $c$ 的矩估计量.
假设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本, 已知 $E\left(X^k\right)=\alpha_k(k=1,2,3,4)$.证明: 当 $n$ 充分大时, 随机变量 $Z_n=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^2$ 近似服从正态分布, 并指出其分布参数.
已知总体 $X$ 的概率密度为
$$
f(x)= \begin{cases}(1+\theta) x^\theta, & 0 < x < 1 ， \\ 0, & \text { 其他, }\end{cases}
$$
其中 $\theta>-1$ 是未知参数, 设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本, 求 $\theta$ 的矩估计量和最大似然估计量.
设总体 $X$ 的概率密度为
$$
f(x)= \begin{cases}\frac{6 x}{\theta^3}(\theta-x), & 0 < x < \theta, \\ 0, & \text { 其他, }\end{cases}
$$
$X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是取自总体 $X$ 的简单随机样本. 求:
(1) $\theta$ 的矩估计量 $\hat{\theta}$;
(2) $\hat{\theta}$ 的方差 $D \hat{\theta}$.
设总体 $X$ 的概率密度为 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{2 x}{\alpha^2}, & 0 \leqslant x \leqslant \alpha, \\ 0, & \text { 其他, }\end{array}\right.$ 其中 $\alpha>1$ 未知, $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本.
(1) 求 $p=P\{0 < X < \sqrt{\alpha}\}$;
(2) 求 $p$ 的最大似然估计量 $\hat{p}$.6.11 解 (1) $p=P\{0 < X < \sqrt{\alpha}\}=\int_0^{\sqrt{\alpha}} f(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{\alpha}$.
(2) 当 $0 \leqslant x_1 \leqslant \alpha, 0 \leqslant x_2 \leqslant \alpha, \cdots, 0 \leqslant x_n \leqslant \alpha$ 时, 似然函数为
$$
L(\alpha)=f\left(x_1\right) f\left(x_2\right) \cdots f\left(x_n\right)=\frac{2^n}{\alpha^{2 n}} x_1 x_2 \cdots x_n,
$$
显然 $L(\alpha)$ 关于 $\alpha$ 单调减少, 且 $\alpha \geqslant \max \left\{x_1, x_2, \cdots, x_n\right\}$, 则 $\alpha$ 的最大似然估计量为
$$
\hat{\alpha}=\max \left\{X_1, X_2, \cdots, X_n\right\} \text {. }
$$
又由 (1) 知 $p=\frac{1}{\alpha}$ 关于 $\alpha$ 是单调函数, 根据最大似然估计的不变性, 有 $p$ 的最大似然估计量为
$$
\hat{p}=\frac{1}{\max \left\{X_1, X_2, \cdots, X_n\right\}} .
$$
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自正态总体 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$ 的一个简单随机样本, 记
$$
\bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i, S^2=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2, T=\bar{X}^2-\frac{1}{n} S^2 .
$$
（1）证明： $T$ 是 $\mu^2$ 的无偏估计量.
（2）求 $E T$.