一、单选题 （共 82 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
已知 $\triangle A B C$ 为等边三角形, $A B=2$, 设点 $P 、 Q$ 满足 $\overrightarrow{A P}=\lambda \overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A Q}=(1-\lambda) \overrightarrow{A C}, \lambda \in R$, 若 $\overrightarrow{B Q} \cdot \overrightarrow{C P}=-\frac{3}{2}$, 则 $\lambda=$
$\text{A.}$ $\frac{1}{8}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{4}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{3}{4}$
已知 $\triangle A B C$ 的外接圆圆心为 $O$, 且 $2 \overrightarrow{A O}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C},|\overrightarrow{O A}|=|\overrightarrow{A B}|$, 则向量 $\overrightarrow{O C}$ 在向量 $\overline{C A}$ 上的投影向量为
$\text{A.}$ $\frac{1}{2} \overrightarrow{C A}$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{3}}{2} \overrightarrow{O C}$
$\text{C.}$ $-\frac{1}{2} \overrightarrow{C A}$
$\text{D.}$ $-\frac{\sqrt{3}}{2} \overrightarrow{O C}$
已知复数 $z=1+\mathrm{i}$ ( $\mathrm{i}$ 是虚数单位), 则 $\frac{z}{z \bar{z}+\mathrm{i}}=$
$\text{A.}$ $\frac{3}{5}+\frac{1}{5} \mathrm{i}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{5}+\frac{1}{5} \mathrm{i}$
$\text{C.}$ $-\frac{3}{5}+\frac{1}{5} \mathrm{i}$
$\text{D.}$ $-\frac{1}{5}+\frac{1}{5} \mathrm{i}$
已知 $\mathrm{i}$ 为虚数单位, $z=a+b \mathrm{i}(a, b \in \mathbf{R})$, 若 $(\bar{z}+1-a)[z+(1-b) \mathrm{i}]=-2 a \mathrm{i}$, 则复数 $z$ 在 复平面上对应的点位于
$\text{A.}$ 第一象限
$\text{B.}$ 第二象限
$\text{C.}$ 第三象限
$\text{D.}$ 第四象限
复数 $z=\frac{3-\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}-1$, 则 $|z|=$
$\text{A.}$ $\sqrt{2}$
$\text{B.}$ $\sqrt{5}$
$\text{C.}$ $2$
$\text{D.}$ $5$
已知 $a, b \in \mathbf{R}, a+3 \mathrm{i}=(b+\mathrm{i}) \mathrm{i}(\mathrm{i}$ 为虚数单位), 则
$\text{A.}$ $a=1, b=-3$
$\text{B.}$ $a=-1, b=3$
$\text{C.}$ $a=-1, b=-3$
$\text{D.}$ $a=1, b=3$
已知复数 $z$ 满足 $(1-\mathrm{i}) z=3+\mathrm{i}(\mathrm{i}$ 是虚数单位), 则 $z=$
$\text{A.}$ $-1+2 \mathrm{i}$
$\text{B.}$ $-1-2 \mathrm{i}$
$\text{C.}$ $1-2 \mathrm{i}$
$\text{D.}$ $1+2 i$
设 $z=1+\mathrm{i}$ ，则 $z^2-\mathrm{i}=$
$\text{A.}$ $i$
$\text{B.}$ $-{i}$
$\text{C.}$ $1$
$\text{D.}$ $-1$
设复数 $z=\frac{10}{3-\mathrm{i}}+2 \mathrm{i}$, 则 $|z|=$
$\text{A.}$ $3 \sqrt{2}$
$\text{B.}$ $2 \sqrt{3}$
$\text{C.}$ $3 \sqrt{3}$
$\text{D.}$ $\sqrt{10}$
已知复数 $\frac{x+y \mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}=2-\mathrm{i}, x, y \in \mathrm{R}$, 则 $x-y=$
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ 3
$\text{C.}$ 4
$\text{D.}$ 5
已知 $m, n$ 为实数, $1-\mathrm{i}$ ( $\mathrm{i}$ 为虚数単位) 是关于 $x$ 的方程 $x^2-m x+n=0$ 的一个根, 则 $m+n=$
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
设复数 $z=i(2-3 i)$, 则 $|z|=$
$\text{A.}$ $\sqrt{13}$
$\text{B.}$ $\sqrt{5}$
$\text{C.}$ $3$
$\text{D.}$ $5$
设 $z$ 是纯虚数, 若 $\frac{3+z}{1+\mathrm{i}}$ 是实数, 则 $z$ 的虚部为
$\text{A.}$ -3
$\text{B.}$ -1
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ 3
已知复数 $z_1=1-2 i, z_2=1+i$, 则复数 $z_1 z_2$ 的模 $\left|z_1 z_2\right|$ 等于
$\text{A.}$ $\sqrt{5}$
$\text{B.}$ $\sqrt{10}$
$\text{C.}$ $2 \sqrt{5}$
$\text{D.}$ $5 \sqrt{2}$
已知 $z=(1-2 \mathrm{i})(3-\mathrm{i})$, 则 $z$ 对应的点在
$\text{A.}$ 第一象限
$\text{B.}$ 第二象限
$\text{C.}$ 第三象限
$\text{D.}$ 第四象限
若复数 $\frac{a+3 \mathrm{i}}{2+\mathrm{i}}$ 是纯虚数, 则实数 $a=$
$\text{A.}$ $-\frac{3}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{3}{2}$
$\text{C.}$ $-\frac{2}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{2}{3}$
已知 $z$ 是方程 $x^2-2 x+2=0$ 的一个根, 则 $|z|=$
$\text{A.}$ $1$
$\text{B.}$ $\sqrt{2}$
$\text{C.}$ $\sqrt{2}$
$\text{D.}$ $2$
复数 $(1+i)^{22}=$
$\text{A.}$ $2048i$
$\text{B.}$ $2048$
$\text{C.}$ $-2048i$
$\text{D.}$ $-2048$
已知复数 $z=\frac{1-\mathrm{i}}{\mathrm{i}}$, 则 $z$ 的虚部为
$\text{A.}$ $-\mathrm{i}$
$\text{B.}$ $\mathrm{i}$
$\text{C.}$ $-1$
$\text{D.}$ $1$
已知复数 $z$ 满足 $|z+2| \leqslant \sqrt{2}$, 则 $|z-2 \mathrm{i}|$ 的最小值为
$\text{A.}$ $\sqrt{2}$
$\text{B.}$ $2 \sqrt{2}$
$\text{C.}$ $3 \sqrt{2}$
$\text{D.}$ $4 \sqrt{2}$
欧拉公式 $\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}=\cos \theta+\mathrm{i} \sin \theta(\mathrm{e}=2.71828 \cdots)$ 是由 18 世纪瑞士数学家、自然科学家莱昂哈德・欧 拉发现的, 被誉为数学上优美的公式. 已知 $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\theta-\frac{\pi}{6}\right)}=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} \mathrm{i}$, 则 $\cos \theta=$
$\text{A.}$ $-\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\text{B.}$ $-\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$
若 $\bar{z}=\frac{2 \mathrm{i}+\mathrm{i}^2}{1+\mathrm{i}}$, 则 $z=$
$\text{A.}$ $\frac{1}{2}+\frac{3}{2} \mathrm{i}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}-\frac{3}{2} \mathrm{i}$
$\text{C.}$ $-\frac{1}{2}+\frac{3}{2} \mathrm{i}$
$\text{D.}$ $-\frac{1}{2}-\frac{3}{2} \mathrm{i}$
已知集合 $A=\{-1, i\}, i$ 为虚数单位, 则下列选项正确的是
$\text{A.}$ $\frac{1}{i} \in A$
$\text{B.}$ $\frac{1-i}{1+i} \in A$
$\text{C.}$ $ i^5 \in A$
$\text{D.}$ $|-i| \in A$
设复数 $z=2+\mathrm{i}$ 的共轭复数为 $\bar{z}$, 则 $z-\bar{z}+z \bar{z}=$
$\text{A.}$ $3+2 i$
$\text{B.}$ $3-2 i$
$\text{C.}$ $5-2 i$
$\text{D.}$ $5+2 \mathrm{i}$
已知复数 $z=1-\mathrm{i}^{23}$, 且 $\bar{z}=a+b z^2$, 其中 $a, b$ 为实数, 则 $a-b=$
$\text{A.}$ $-\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{3}{2}$
$\text{D.}$ $2$
复数 $\mathrm{z}$ 满足 $\left|\frac{z}{1+i}\right|^2=z(2-i)$, $\mathrm{i}$ 为虚数单位, 则 $|z|=$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 1 或 $3 \sqrt{2}$
$\text{C.}$ $2 \sqrt{5}$
$\text{D.}$ 0 或 $2 \sqrt{5}$
设复数 $z=2+\mathrm{i}$ 的共轭复数为 $\bar{z}$, 则 $z-\bar{z}+z \bar{z}= $
$\text{A.}$ $3+2 i$
$\text{B.}$ $3-2 i$
$\text{C.}$ $5-2 i$
$\text{D.}$ $5+2 {i}$
设复数 $z$ 满足 $z=\frac{\bar{z}-1}{2}$, 则 $|z|=$
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ $\frac{3}{2}$
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ $\frac{1}{2}$
设复数 $z$ 满足 $\frac{2+i}{z}=i$, 则 $|z|=$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ $\sqrt{5}$
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 5
在复平面内, $(1+3 i)(3-i)$ 对应的点位于
$\text{A.}$ 第一象限
$\text{B.}$ 第二象限
$\text{C.}$ 第三象限
$\text{D.}$ 第四象限
已知坐数 $z=\dfrac{1-\mathrm{i}}{2+2 \mathrm{i}}$, 则 $z-\bar{z}=$
$\text{A.}$ $-i$
$\text{B.}$ $i$
$\text{C.}$ 0
$\text{D.}$ 1
若复数 $(a+\mathrm{i})(1-a \mathrm{i})=2, a \in \mathbf{R}$, 则 $a=$
$\text{A.}$ -1
$\text{B.}$ 0
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ 2
设 $z=\dfrac{2+\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}^2+\mathrm{i}^5} $ ，则 $ \bar{z}=$
$\text{A.}$ $1-2 \mathrm{i}$
$\text{B.}$ $1+2 \mathrm{i}$
$\text{C.}$ $2-\mathrm{i}$
$\text{D.}$ $2+\mathrm{i}$
已知 $(1+\mathrm{i})^2 \bar{z}=3-\mathrm{i}$, 其中 $\mathrm{i}$ 为虚数单位, 则 $z=$.
$\text{A.}$ $-\frac{1}{2}-\frac{3}{2} \mathrm{i}$
$\text{B.}$ $-\frac{1}{2}+\frac{3}{2} \mathrm{i}$
$\text{C.}$ $\frac{3}{2}+\mathrm{i}$
$\text{D.}$ $-\frac{3}{2}-\mathrm{i}$
已知复数 $z$ 满足 $(1-\mathrm{i})^2 z=2-4 \mathrm{i}$, 其中 $\mathrm{i}$ 为虚数单位, 则复数 $\bar{z}$ 的虚部为
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ -1
$\text{C.}$ i
$\text{D.}$ -i
若复数 $z$ 满足 $|z|=|z+2 \mathrm{i}|$, 其中 $\mathrm{i}$ 是虚数单位, 则复数 $z$ 的虚部是
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ -1
$\text{C.}$ i
$\text{D.}$ -i
已知 $(1-a \mathrm{i})(2+\mathrm{i})=b+3 \mathrm{i}$ ( $\mathrm{i}$ 为虚数单位), 其中 $a, b$ 为实数, 则 $a, b$ 的值 分别为
$\text{A.}$ $-1,1$
$\text{B.}$ $1,-1$
$\text{C.}$ $1,1$
$\text{D.}$ $-1,-1$
复数 $z=\frac{2-\mathrm{i}}{2+\mathrm{i}}$, 则 $z-\bar{z}=$
$\text{A.}$ $-\frac{6}{5}$
$\text{B.}$ $\frac{6}{5}$
$\text{C.}$ $-\frac{8}{5} \mathrm{i}$
$\text{D.}$ $\frac{8}{5} \mathrm{i}$
已知 $\frac{z+1}{z-1}=\sqrt{3} \mathrm{i}$, 则 $\bar{z}=$
$\text{A.}$ $\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} \mathrm{i}$
$\text{B.}$ $-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} \mathrm{i}$
$\text{C.}$ $-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2} \mathrm{i}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2} \mathrm{i}$
复数 $z$ 满足 $i^5 \cdot z=1+i$, 则 $z$ 在复平面内对应的点位于
$\text{A.}$ 第一象限
$\text{B.}$ 第二象限
$\text{C.}$ 第三象限
$\text{D.}$ 第四象限