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试2

数学

一、单选题（共 40 题），每题只有一个选项正确

1. 已知

△ A B C

为等边三角形,

A B = 2

, 设点

P 、 Q

满足

\vec{A P} = λ \vec{A B}, \vec{A Q} = (1 - λ) \vec{A C}, λ \in R

, 若

\vec{B Q} \cdot \vec{C P} = - \frac{3}{2}

, 则

λ =

A.

\frac{1}{8}

B.

\frac{1}{4}

C.

\frac{1}{2}

D.

\frac{3}{4}

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2. 已知

△ A B C

的外接圆圆心为

O

, 且

2 \vec{A O} = \vec{A B} + \vec{A C}, | \vec{O A} | = | \vec{A B} |

, 则向量

\vec{O C}

在向量

\overset{―}{C A}

上的投影向量为

A.

\frac{1}{2} \vec{C A}

B.

\frac{\sqrt{3}}{2} \vec{O C}

C.

- \frac{1}{2} \vec{C A}

D.

- \frac{\sqrt{3}}{2} \vec{O C}

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3. 已知复数

z = 1 + i

(

i

是虚数单位), 则

\frac{z}{z \bar{z} + i} =

A.

\frac{3}{5} + \frac{1}{5} i

B.

\frac{1}{5} + \frac{1}{5} i

C.

- \frac{3}{5} + \frac{1}{5} i

D.

- \frac{1}{5} + \frac{1}{5} i

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4. 已知

i

为虚数单位,

z = a + b i (a, b \in R)

, 若

(\bar{z} + 1 - a) [z + (1 - b) i] = - 2 a i

, 则复数

z

在复平面上对应的点位于

A.

第一象限

B.

第二象限

C.

第三象限

D.

第四象限

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5. 复数

z = \frac{3 - i}{1 + i} - 1

, 则

| z | =

A.

\sqrt{2}

B.

\sqrt{5}

C.

2

D.

5

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6. 已知

a, b \in R, a + 3 i = (b + i) i (i

为虚数单位), 则

A.

a = 1, b = - 3

B.

a = - 1, b = 3

C.

a = - 1, b = - 3

D.

a = 1, b = 3

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7. 已知复数

z

满足

(1 - i) z = 3 + i (i

是虚数单位), 则

z =

A.

- 1 + 2 i

B.

- 1 - 2 i

C.

1 - 2 i

D.

1 + 2 i

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8. 设

z = 1 + i

，则

z^{2} - i =

A.

i

B.

- i

C.

1

D.

- 1

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9. 设复数

z = \frac{10}{3 - i} + 2 i

, 则

| z | =

A.

3 \sqrt{2}

B.

2 \sqrt{3}

C.

3 \sqrt{3}

D.

\sqrt{10}

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10. 已知复数

\frac{x + y i}{1 + i} = 2 - i, x, y \in R

, 则

x - y =

A.

2

B.

3

C.

4

D.

5

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11. 已知

m, n

为实数,

1 - i

(

i

为虚数単位) 是关于

x

的方程

x^{2} - m x + n = 0

的一个根, 则

m + n =

A.

0

B.

1

C.

2

D.

3

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12. 设复数

z = i (2 - 3 i)

, 则

| z | =

A.

\sqrt{13}

B.

\sqrt{5}

C.

3

D.

5

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13. 设

z

是纯虚数, 若

\frac{3 + z}{1 + i}

是实数, 则

z

的虚部为

A.

-3

B.

-1

C.

1

D.

3

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14. 已知复数

z_{1} = 1 - 2 i, z_{2} = 1 + i

, 则复数

z_{1} z_{2}

的模

| z_{1} z_{2} |

等于

A.

\sqrt{5}

B.

\sqrt{10}

C.

2 \sqrt{5}

D.

5 \sqrt{2}

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15. 已知

z = (1 - 2 i) (3 - i)

, 则

z

对应的点在

A.

第一象限

B.

第二象限

C.

第三象限

D.

第四象限

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16. 若复数

\frac{a + 3 i}{2 + i}

是纯虚数, 则实数

a =

A.

- \frac{3}{2}

B.

\frac{3}{2}

C.

- \frac{2}{3}

D.

\frac{2}{3}

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17. 已知

z

是方程

x^{2} - 2 x + 2 = 0

的一个根, 则

| z | =

A.

1

B.

\sqrt{2}

C.

\sqrt{2}

D.

2

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18. 复数

(1 + i)^{22} =

A.

2048 i

B.

2048

C.

- 2048 i

D.

- 2048

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19. 已知复数

z = \frac{1 - i}{i}

, 则

z

的虚部为

A.

- i

B.

i

C.

- 1

D.

1

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20. 已知复数

z

满足

| z + 2 | ⩽ \sqrt{2}

, 则

| z - 2 i |

的最小值为

A.

\sqrt{2}

B.

2 \sqrt{2}

C.

3 \sqrt{2}

D.

4 \sqrt{2}

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21. 欧拉公式

e^{i θ} = \cos θ + i \sin θ (e = 2.71828 \dots)

是由 18 世纪瑞士数学家、自然科学家莱昂哈德・欧拉发现的, 被誉为数学上优美的公式. 已知

e^{i (θ - \frac{π}{6})} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i

, 则

\cos θ =

A.

- \frac{\sqrt{3}}{2}

B.

- \frac{1}{2}

C.

\frac{1}{2}

D.

\frac{\sqrt{3}}{2}

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22. 若

\bar{z} = \frac{2 i + i^{2}}{1 + i}

, 则

z =

A.

\frac{1}{2} + \frac{3}{2} i

B.

\frac{1}{2} - \frac{3}{2} i

C.

- \frac{1}{2} + \frac{3}{2} i

D.

- \frac{1}{2} - \frac{3}{2} i

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23. 已知集合

A = {- 1, i}, i

为虚数单位, 则下列选项正确的是

A.

\frac{1}{i} \in A

B.

\frac{1 - i}{1 + i} \in A

C.

i^{5} \in A

D.

| - i | \in A

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24. 设复数

z = 2 + i

的共轭复数为

\bar{z}

, 则

z - \bar{z} + z \bar{z} =

A.

3 + 2 i

B.

3 - 2 i

C.

5 - 2 i

D.

5 + 2 i

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25. 已知复数

z = 1 - i^{23}

, 且

\bar{z} = a + b z^{2}

, 其中

a, b

为实数, 则

a - b =

A.

- \frac{1}{2}

B.

\frac{1}{2}

C.

\frac{3}{2}

D.

2

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26. 复数

z

满足

{| \frac{z}{1 + i} |}^{2} = z (2 - i)

,

i

为虚数单位, 则

| z | =

A.

1

B.

1 或

3 \sqrt{2}

C.

2 \sqrt{5}

D.

0 或

2 \sqrt{5}

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27. 设复数

z = 2 + i

的共轭复数为

\bar{z}

, 则

z - \bar{z} + z \bar{z} =

A.

3 + 2 i

B.

3 - 2 i

C.

5 - 2 i

D.

5 + 2 i

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28. 设复数

z

满足

z = \frac{\bar{z} - 1}{2}

, 则

| z | =

A.

2

B.

\frac{3}{2}

C.

1

D.

\frac{1}{2}

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29. 设复数

z

满足

\frac{2 + i}{z} = i

, 则

| z | =

A.

1

B.

\sqrt{5}

C.

3

D.

5

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30. 在复平面内,

(1 + 3 i) (3 - i)

对应的点位于

A.

第一象限

B.

第二象限

C.

第三象限

D.

第四象限

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31. 已知坐数

z = \frac{1 - i}{2 + 2 i}

, 则

z - \bar{z} =

A.

- i

B.

i

C.

0

D.

1

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32. 若复数

(a + i) (1 - a i) = 2, a \in R

, 则

a =

A.

-1

B.

0

C.

1

D.

2

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33. 设

z = \frac{2 + i}{1 + i^{2} + i^{5}}

，则

\bar{z} =

A.

1 - 2 i

B.

1 + 2 i

C.

2 - i

D.

2 + i

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34. 已知

(1 + i)^{2} \bar{z} = 3 - i

, 其中

i

为虚数单位, 则

z =

.

A.

- \frac{1}{2} - \frac{3}{2} i

B.

- \frac{1}{2} + \frac{3}{2} i

C.

\frac{3}{2} + i

D.

- \frac{3}{2} - i

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35. 已知复数

z

满足

(1 - i)^{2} z = 2 - 4 i

, 其中

i

为虚数单位, 则复数

\bar{z}

的虚部为

A.

1

B.

-1

C.

i

D.

-i

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36. 若复数

z

满足

| z | = | z + 2 i |

, 其中

i

是虚数单位, 则复数

z

的虚部是

A.

1

B.

-1

C.

i

D.

-i

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37. 已知

(1 - a i) (2 + i) = b + 3 i

(

i

为虚数单位), 其中

a, b

为实数, 则

a, b

的值分别为

A.

- 1, 1

B.

1, - 1

C.

1, 1

D.

- 1, - 1

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38. 复数

z = \frac{2 - i}{2 + i}

, 则

z - \bar{z} =

A.

- \frac{6}{5}

B.

\frac{6}{5}

C.

- \frac{8}{5} i

D.

\frac{8}{5} i

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39. 已知

\frac{z + 1}{z - 1} = \sqrt{3} i

, 则

\bar{z} =

A.

\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i

B.

- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i

C.

- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i

D.

\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i

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40. 复数

z

满足

i^{5} \cdot z = 1 + i

, 则

z

在复平面内对应的点位于

A.

第一象限

B.

第二象限

C.

第三象限

D.

第四象限

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