单选题 （共 6 题 ），每题只有一个选项正确
设 $\boldsymbol{A}$ 是 $m \times n$ 矩阵， $\boldsymbol{B}$ 是 $n \times m$ 矩阵，则线性方程组 $(\boldsymbol{A B}) \boldsymbol{x}=\mathbf{0}(\quad)$ ．
$\text{A.}$ 当 $n>m$ 时仅有零解
$\text{B.}$ 当 $n>m$ 时必有非零解
$\text{C.}$ 当 $m>n$ 时仅有零解
$\text{D.}$ 当 $m>n$ 时必有非零解
设非齐次线性方程组 $A X=\beta$ 中未定元个数为 $n$ ，方程个数为 $m$ ，系数矩阵 $A$ 的秩为 $r$ ，则
$\text{A.}$ 当 $r < n$ 时，方程组 $A X=\beta$ 有无穷多解；
$\text{B.}$ 当 $r=n$ 时，方程组 $A X=\beta$ 有唯一解；
$\text{C.}$ 当 $r < m$ 时，方程组 $A X=\beta$ 有解；
$\text{D.}$ 当 $r=m$ 时，方程组 $A X=\beta$ 有解。
设 A 为 $m \times n$ 型矩阵， B 为 $n \times m$ 型矩阵， E 为 m 阶单位矩阵，若 $\mathrm{AB}=\mathrm{E}$ ，则
$\text{A.}$ 秩 $r(A)=m$ ，秩 $r(B)=m$
$\text{B.}$ 秩 $r(A)=m$ ，秩 $r(B)=n$
$\text{C.}$ 秩 $r(A)=n$ ，秩 $r(B)=m$
$\text{D.}$ 秩 $r(A)=n$ ，秩 $r(B)=n$
设向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关，则下列向量组线性相关的是
$\text{A.}$ $\alpha_1-\alpha_2, \alpha_2-\alpha_3, \alpha_3-\alpha_1$ ；
$\text{B.}$ $\alpha_1+\alpha_2, \alpha_2+\alpha_3, \alpha_3+\alpha_1$ ；
$\text{C.}$ $\alpha_1-2 \alpha_2, \alpha_2-2 \alpha_3, \alpha_3-2 \alpha_1$ ；
$\text{D.}$ $\alpha_1+2 \alpha_2, \alpha_2+2 \alpha_3, \alpha_3+2 \alpha_1$
线性方程组 $A x=b$ 的系数矩阵式 $4 \times 5$ 矩阵，且 $A$ 的行向量线性无关，则错误的命题是
$\text{A.}$ 齐次方程组 $A^T x=0$ 只有零解；
$\text{B.}$ 齐次方程组 $A^T A x=0$ 必有非零解；
$\text{C.}$ 对任意的 $b$ ，方程组 $A x=b$ 必有无穷多解；
$\text{D.}$ 对任意的 $b$ ，方程组 $A^T x=b$ 必有唯一解．
设 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right)$ ，矩阵 $B$ 满足 $A B=A-2 B-E$ ，则 $|B-E|=()$
$\text{A.}$ $\frac{1}{7}$ ；
$\text{B.}$ $-\frac{9}{7}$ ；
$\text{C.}$ $\frac{9}{7}$ ；
$\text{D.}$ $-1$ ；
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $A=\left(\begin{array}{cccc}1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 4 & 5 \\ 4 & 9 & 16 & 25 \\ 8 & 27 & 64 & 125\end{array}\right), \beta=\left(\begin{array}{l}2 \\ 3 \\ 4 \\ 5\end{array}\right)$, 则 $A^{\prime} X=\beta$ 的解是
$\left|\begin{array}{ccc}
x & y & x+y \\
y & x+y & x \\
x+y & x & y
\end{array}\right|$
设 4 阶矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cccc}1 & -2 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 2\end{array}\right)$ ，其逆矩阵 $\boldsymbol{A}^{-1}=$
已知向量 $\alpha_1=(a, 1,-1,1), \alpha_2=(1,1, b, a), \alpha_3=(1, a, 1,-1)$ ，当 $a=$ $\_\_\_\_$时，对任意 $\boldsymbol{b}$ ，都使得向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 的秩为 $\mathbf{2}$ ．
设 3 阶方阵 $\boldsymbol{A}$ 有 3 个特征值 $-1,-2,-3$ ，则行列式 $\left|\boldsymbol{A}+\boldsymbol{A}^*\right|=$ $\_\_\_\_$ ，其中 $A^*$ 为 $A$的伴随矩阵。
解答题 （共 26 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
问 $a, b$ 为何值时, 线性方程组
$$
\left\{\begin{aligned}
x_1+x_2+\quad x_3+x_4 & =0, \\
x_2+2 x_3+2 x_4 & =1, \\
-x_2+(a-3) x_3-2 x_4 & =b, \\
3 x_1+2 x_2+\quad x_3+a x_4 & =-1 .
\end{aligned}\right.
$$
有唯一解, 无解, 有无穷多解? 并在有解时, 求线性方程组的解(用向量表示)
记四阶行列式
$$
\left|\begin{array}{cccc}
x-2 & x-1 & x-2 & x-3 \\
2 x-2 & 2 x-1 & 2 x-2 & 2 x-3 \\
3 x-3 & 3 x-2 & 4 x-5 & 3 x-5 \\
4 x & 4 x-3 & 5 x-7 & 4 x-3
\end{array}\right|
$$
为 $f(x)$ ，求函数 $f(x)$ 的全部零点．
计算 $n$ 阶行列式
$$
D_n=\left|\begin{array}{cccccc}
\lambda & x & x & x & \cdots & x \\
y & \alpha & \beta & \beta & \cdots & \beta \\
y & \beta & \alpha & \beta & \cdots & \beta \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
y & \beta & \beta & \beta & \cdots & \alpha
\end{array}\right| .
$$
（大连理工大学，2004 年）计算 $n$ 阶行列式
$$
D_n=\left|\begin{array}{ccccc}
1 & 1 & \cdots & 1 & 2-n \\
1 & 1 & \cdots & 2-n & 1 \\
\vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
1 & 2-n & \cdots & 1 & 1 \\
2-n & 1 & \cdots & 1 & 1
\end{array}\right| .
$$
计算
$$
\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccccc}
1 & 2 & \cdots & n-1 & n+x \\
1 & 2 & \cdots & (n-1)+x & n \\
\vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
1 & 2+x & \cdots & n-1 & n \\
1+x & 2 & \cdots & n-1 & n
\end{array}\right) .
$$
（华东师范大学，2002年）计算 $n$ 阶行列式
$$
D_n=\left|\begin{array}{ccccc}
x & 4 & 4 & \cdots & 4 \\
1 & x & 2 & \cdots & 2 \\
1 & 2 & x & \cdots & 2 \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
1 & 2 & 2 & \cdots & x
\end{array}\right| .
$$
（东南大学，2000 年）求 $n$ 阶行列式
$$
D_n=\left|\begin{array}{ccccc}
2 a & a^2 & & & \\
1 & 2 a & a^2 & & \\
& \ddots & \ddots & \ddots & \\
& & 1 & 2 a & a^2 \\
& & & 1 & 2 a
\end{array}\right|
$$
（中国科学院，2006 年）已知 $\alpha, \beta, \gamma$ 为实数，求
$$
\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccccc}
\alpha & \beta & & & \\
\gamma & \alpha & \beta & & \\
& \ddots & \ddots & \ddots & \\
& & \gamma & \alpha & \beta \\
& & & \gamma & \alpha
\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{n \times n}
$$
的行列式的值．
（华中师范大学，1994 年）计算 $n+1$ 阶行列式
$$
D_{n+1}=\left|\begin{array}{cccccc}
a & -1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
a x & a & -1 & \cdots & 0 & 0 \\
a x^2 & a x & a & \cdots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
a x^{n-1} & a x^{n-2} & a x^{n-3} & \cdots & a & -1 \\
a x^n & a x^{n-1} & a x^{n-2} & \cdots & a x & a
\end{array}\right| .
$$
南京大学，2015 年）计算行列式 $|\boldsymbol{A}|$ ，其中
$$
\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cccc}
1+a_1^2 & a_1 a_2 & \cdots & a_1 a_n \\
a_2 a_1 & 1+a_2^2 & \cdots & a_2 a_n \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_n a_1 & a_n a_2 & \cdots & 1+a_n^2
\end{array}\right) .
$$
(北京大学，2009 年）设 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶实方阵， $\boldsymbol{A}^2=\boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$ ，求证 $\boldsymbol{A}$ 是对称矩阵．
设 $\boldsymbol{A}=\frac{1}{5}\left(\begin{array}{llll}0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 4\end{array}\right)$ ．求 $\boldsymbol{A}^{-1}$
设 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{rrr}1 & 2 & -2 \\ 4 & t & 3 \\ 3 & -1 & 1\end{array}\right)$ ．令 $\boldsymbol{B}$ 是一个 3 阶非零矩阵，使得 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=\boldsymbol{O}$ ．求 $t$ 的值。
当 $a$ 与 $b$ 为何值时，数域 $\boldsymbol{F}$ 上的齐次线性方程组
$$
\left\{\begin{array}{c}
a x_1+b x_2+\cdots+b x_n=0 \\
b x_1+a x_2+\cdots+b x_n=0 \\
\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\
b x_1+b x_2+\cdots+a x_n=0
\end{array}\right.
$$
有唯一解？有无穷多解？对于有无穷多解的情形，求出它的通解．这里 $a \neq 0, b \neq 0$ 且 $n \geqslant 2$ ．
设 $n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}$ 的行列式 $|\boldsymbol{A}|=a \neq 0$ ，并设 $\boldsymbol{A}^*$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵 。求 $\left|\boldsymbol{A}^*\right|$ 。
设 3 阶方阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{c}\boldsymbol{\alpha} \\ 2 \boldsymbol{\gamma}_2 \\ 3 \boldsymbol{\gamma}_3\end{array}\right)$ 且 $\boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{c}\boldsymbol{\beta} \\ \boldsymbol{\gamma}_2 \\ \boldsymbol{\gamma}_3\end{array}\right)$ ，其中 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma}_2, \boldsymbol{\gamma}_3$ 都是 3 元行向量，并设 $|\boldsymbol{A}|=18$ 且 $|\boldsymbol{B}|=2$ ．求 $\boldsymbol{A}-\boldsymbol{B}$ ．
设 $\boldsymbol{A}$ 是一个 3 阶方阵，并设 $|\boldsymbol{A}|=2$ ．求 $\left|4 \boldsymbol{A}^{-1}+\boldsymbol{A}^*\right|$ ．
设 $\boldsymbol{A}$ 为 3 阶方阵， $\boldsymbol{A}^*$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵 。并设 $|\boldsymbol{A}|=\frac{1}{2}$ 。计算 $\left|(3 \boldsymbol{A})^{-1}-2 \boldsymbol{A}^*\right|$
已知二次型 $q\left(x_1, x_2, x_3\right)=2 x_1^2+3 x_2^2+3 x_3^2+2 a x_2 x_3(a>0)$ 在某个正交线性替换 ${ }^{+}$下的标准形为 $y_1^2+2 y_2^2+5 y_3^2$ ．求参数 $a$ 及所用的正交矩阵
计算行列式 $D_{n+1}=\left|\begin{array}{ccccc}a_1^n & a_1^{n-1} b_1 & \cdots & a_1 b_1^{n-1} & b_1^n \\ a_2^n & a_2^{n-1} b_2 & \cdots & a_2 b_2^{n-1} & b_2^n \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ a_{n+1}^n & a_{n+1}^{n-1} b_{n+1} & \cdots & a_{n+1} b_{n+1}^{n-1} & b_{n+1}^n\end{array}\right|$ ，其中 $a_1 a_2 \cdots a_{n+1} \neq 0$ ．
计算行列式 $ D=\left|\begin{array}{cccc}
1 & -1 & 1 & x-1 \\
1 & -1 & x+1 & -1 \\
1 & x-1 & 1 & -1 \\
x+1 & -1 & 1 & -1
\end{array}\right| \text {. }$
已知二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+x_2^2+x_3^2+2 a x_1 x_2+2 x_1 x_3+2 b x_2 x_3$ 经过正交变换 $X=T Y$可化为标准形 $f=y_2^2+2 y_3^2$ ．
（1）求参数 $a, b$ ．
（2）求所用的正交矩阵 $T$ ．
设 $n$ 元线性方程组 $A x=b$ ，其中 $A=\left(\begin{array}{llllll}
2 a & 1 & & & & \\
a^2 & 2 a & 1 & & & \\
& a^2 & 2 a & 1 & & \\
& & ... &... &... & \\
& & & a^2 & 2 a & 1 \\
& & & & a^2 & 2 a
\end{array}\right), $
$x=\left(\begin{array}{l}x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n\end{array}\right)$, $b=\left(\begin{array}{l}x_1 \\0 \\\vdots \\0\end{array}\right) .$
（1）证明行列式 $|A|=(n+1) a^n$ ；
（2）当 $a$ 为何值时，该方程组有唯一解，并求 $x_1$ ；
（3）当 $a$ 为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解．
已知 $A=\left(\begin{array}{ccc}2 & 4 & -6 \\ 1 & 2 & -3 \\ 4 & 8 & -12\end{array}\right)$ ，则 $A^n=$
已知向量组 $\mathrm{I}=\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\right), \mathrm{II}=\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4\right), \mathrm{III}=\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_5\right)$ ，如果各向量组的秩分别为3，3，4．证明：向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_5-\alpha_4$ 的秩为 4 ．
用配方法化二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=2 x_1 x_2-6 x_2 x_3+2 x_1 x_3$ 为标准形，并写出所有的坐标变换。
证明题 （共 2 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $n$ 为正整数，$a_1, a_2, \cdots, a_n ; b_1, b_2, \cdots, b_n$ 都是实数且 $n \geq 2$ ，
求 $n$ 阶行列式 $D_n=\left|\begin{array}{cccc}a_1+b_1 & a_1+b_2 & \cdots & a_1+b_n \\ a_2+b_1 & a_2+b_2 & \cdots & a_2+b_n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_n+b_1 & a_n+b_2 & \cdots & a_n+b_n\end{array}\right|$ 的值．
（华中科技大学，2005 年）解线性方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
x_1+a x_2+a^2 x_3=a^3, \\
x_1+b x_2+b^2 x_3=b^3, \\
x_1+c x_2+c^2 x_3=c^3,
\end{array}\right.
$$
其中 $a, b, c$ 是互不相等的常数．