设 $n$ 元线性方程组 $A x=b$ ，其中 $A=\left(\begin{array}{llllll}
2 a & 1 & & & & \\
a^2 & 2 a & 1 & & & \\
& a^2 & 2 a & 1 & & \\
& & ... &... &... & \\
& & & a^2 & 2 a & 1 \\
& & & & a^2 & 2 a
\end{array}\right), $

$x=\left(\begin{array}{l}x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n\end{array}\right)$, $b=\left(\begin{array}{l}x_1 \\0 \\\vdots \\0\end{array}\right) .$

（1）证明行列式 $|A|=(n+1) a^n$ ；
（2）当 $a$ 为何值时，该方程组有唯一解，并求 $x_1$ ；
（3）当 $a$ 为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解．