单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
设 A 为 $m \times n$ 型矩阵， B 为 $n \times m$ 型矩阵， E 为 m 阶单位矩阵，若 $\mathrm{AB}=\mathrm{E}$ ，则
$\text{A.}$ 秩 $r(A)=m$ ，秩 $r(B)=m$
$\text{B.}$ 秩 $r(A)=m$ ，秩 $r(B)=n$
$\text{C.}$ 秩 $r(A)=n$ ，秩 $r(B)=m$
$\text{D.}$ 秩 $r(A)=n$ ，秩 $r(B)=n$
设向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关，则下列向量组线性相关的是
$\text{A.}$ $\alpha_1-\alpha_2, \alpha_2-\alpha_3, \alpha_3-\alpha_1$ ；
$\text{B.}$ $\alpha_1+\alpha_2, \alpha_2+\alpha_3, \alpha_3+\alpha_1$ ；
$\text{C.}$ $\alpha_1-2 \alpha_2, \alpha_2-2 \alpha_3, \alpha_3-2 \alpha_1$ ；
$\text{D.}$ $\alpha_1+2 \alpha_2, \alpha_2+2 \alpha_3, \alpha_3+2 \alpha_1$
线性方程组 $A x=b$ 的系数矩阵式 $4 \times 5$ 矩阵，且 $A$ 的行向量线性无关，则错误的命题是
$\text{A.}$ 齐次方程组 $A^T x=0$ 只有零解；
$\text{B.}$ 齐次方程组 $A^T A x=0$ 必有非零解；
$\text{C.}$ 对任意的 $b$ ，方程组 $A x=b$ 必有无穷多解；
$\text{D.}$ 对任意的 $b$ ，方程组 $A^T x=b$ 必有唯一解．
设 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right)$ ，矩阵 $B$ 满足 $A B=A-2 B-E$ ，则 $|B-E|=()$
$\text{A.}$ $\frac{1}{7}$ ；
$\text{B.}$ $-\frac{9}{7}$ ；
$\text{C.}$ $\frac{9}{7}$ ；
$\text{D.}$ $-1$ ；
设 $A, B$ 是满足 $A B=0$ 的任意两个非零矩阵，则
$\text{A.}$ $A$ 的列向量组线性相关，$B$ 的行向量组必线性相关；
$\text{B.}$ $A$ 的列向量组线性相关，$B$ 的列向量组必线性相关；
$\text{C.}$ $A$ 的行向量组线性相关，$B$ 的行向量组必线性相关；
$\text{D.}$ $A$ 的行向量组线性相关，$B$ 的行向量组必线性相关．
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $A$ 为 3 阶矩阵，$|A|=-2$ ，把 $A$ 按行分块为 $A=\left(\begin{array}{l}A_1 \\ A_2 \\ A_3\end{array}\right)$ ，则行列式 $\left|\begin{array}{c}A_3-2 A_1 \\ 3 A_2 \\ A_1\end{array}\right|=$
设 $A=\left(\begin{array}{cccc}1 & 2 & 3 & 1 \\ 2 & -1 & k & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 3 \\ 1 & -1 & 0 & 4 \\ 2 & 0 & 2 & 5\end{array}\right)$ ，且 $A$ 得秩为 $3, k=$
设 $\alpha_i=\left(a_{i 1}, ..., a_{i n}\right)^T(i=1, ... r, r < n)$ 是 $n$ 维实向量，且 $\alpha_1, ..., \alpha_r$ 线性无关，已知 $\beta=\left(b_1, ... b_n\right)^T$ 是线性方程组 $\left(\begin{array}{ccc}
a_{11} & \ldots & a_{1 n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
a_{r 1} & \cdots & a_{r n}
\end{array}\right) x=0$ 的非零解，判断向量组 $\alpha_1, ..., \alpha_r, \beta$
的线性相关性
判断二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=5 x_1^2+x_2^2+5 x_3^2+4 x_1 x_2-8 x_1 x_3-4 x_2 x_3$ 是否正
已知平面上三条不同直线的方程分别为 $a x+2 b y+3 c=0, b x+2 c y+3 a=0$ ， $c x+2 a y+3 b=0$ ， 这三条直线交于一点的充要条件是
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $n$ 元线性方程组 $A x=b$ ，其中 $A=\left(\begin{array}{llllll}
2 a & 1 & & & & \\
a^2 & 2 a & 1 & & & \\
& a^2 & 2 a & 1 & & \\
& & ... &... &... & \\
& & & a^2 & 2 a & 1 \\
& & & & a^2 & 2 a
\end{array}\right), $
$x=\left(\begin{array}{l}x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n\end{array}\right)$, $b=\left(\begin{array}{l}x_1 \\0 \\\vdots \\0\end{array}\right) .$
（1）证明行列式 $|A|=(n+1) a^n$ ；
（2）当 $a$ 为何值时，该方程组有唯一解，并求 $x_1$ ；
（3）当 $a$ 为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解．
已知 $A=\left(\begin{array}{ccc}2 & 4 & -6 \\ 1 & 2 & -3 \\ 4 & 8 & -12\end{array}\right)$ ，则 $A^n=$
已知向量组 $\mathrm{I}=\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\right), \mathrm{II}=\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4\right), \mathrm{III}=\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_5\right)$ ，如果各向量组的秩分别为3，3，4．证明：向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_5-\alpha_4$ 的秩为 4 ．
已知 4 阶矩阵 $A=\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4\right)$ ，其中 $\alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 线性无关，$\alpha_1=2 \alpha_2-\alpha_3$ ，如果 $\beta=\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3+\alpha_4$ ，求方程组 $A x=\beta$ 的通解．
用配方法化二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=2 x_1 x_2-6 x_2 x_3+2 x_1 x_3$ 为标准形，并写出所有的坐标变换。