单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
设 $F(x)=\int_x^{x+2 \pi} e^{\sin t} \sin t \mathrm{~d} t$ ，则 $F(x)$
$\text{A.}$ 为正常数
$\text{B.}$ 为负常数
$\text{C.}$ 恒为零
$\text{D.}$ 不为常数
设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续，其导函数的图形如下图所示，则 $f(x)$ 有
$\text{A.}$ 一个极小值点和两个极大值点
$\text{B.}$ 两个极小值点和一个极大值点
$\text{C.}$ 两个极小值点和两个极大值点
$\text{D.}$ 三个极小值点和一个极大值点
下列结论正确的是
$\text{A.}$ $\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x(x+1)}$ 与 $\int_0^1 \frac{\mathrm{d} x}{x(x+1)}$ 都收敛
$\text{B.}$ $\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x(x+1)}$ 与 $\int_0^1 \frac{\mathrm{d} x}{x(x+1)}$ 都发散
$\text{C.}$ $\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x(x+1)}$ 发散， $\int_0^1 \frac{\mathrm{d} x}{x(x+1)}$ 收敛
$\text{D.}$ $\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x(x+1)}$ 收敛， $\int_0^1 \frac{\mathrm{d} x}{x(x+1)}$ 发散
若 $f^{\prime \prime}(x)$ 不变号，且曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1,1)$ 处的曲率圆为 $x^2+y^2=2$ ，则函数 $f(x)$ 在区间 $(1,2)$ 内
$\text{A.}$ 有极值点，无零点
$\text{B.}$ 无极值点，有零点
$\text{C.}$ 有极值点，有零点
$\text{D.}$ 无极值点，无零点
已知 $\beta_{1} 、 \beta_{2}$ 是非齐次线性方程组 $A x=b$ 的两个不同的解, $\alpha_{1} 、 \alpha_{2}$ 是对应齐次线性方程组 $A x=0$ 的基础解系, $k_{1}, k_{2}$ 为任意常数, 则方程组 $A x=b$ 的通解 (一般解) 必是
$\text{A.}$ $k_{1} \alpha_{1}+k_{2}\left(\alpha_{1}+\alpha_{2}\right)+\frac{\beta_{1}-\beta_{2}}{2}$
$\text{B.}$ $k_{1} \alpha_{1}+k_{2}\left(\alpha_{1}-\alpha_{2}\right)+\frac{\beta_{1}+\beta_{2}}{2}$
$\text{C.}$ $k_{1} \alpha_{1}+k_{2}\left(\beta_{1}+\beta_{2}\right)+\frac{\beta_{1}-\beta_{2}}{2}$
$\text{D.}$ $k_{1} \alpha_{1}+k_{2}\left(\beta_{1}-\beta_{2}\right)+\frac{\beta_{1}+\beta_{2}}{2}$
记行列式 $\left|\begin{array}{cccc}x-2 & x-1 & x-2 & x-3 \\ 2 x-2 & 2 x-1 & 2 x-2 & 2 x-3 \\ 3 x-3 & 3 x-2 & 4 x-5 & 3 x-5 \\ 4 x & 4 x-3 & 5 x-7 & 4 x-3\end{array}\right|$ 为 $f(x)$ ，则方程 $f(x)=0$ 的根的个数为
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
设 $A$ 是任一 $n(n \geq 3)$ 阶方阵， $A^*$ 是其伴随矩阵，又 $k$ 为常数，且 $k \neq 0, \pm 1$ ，则必有 $(k A)^*=$
$\text{A.}$ $k A^*$
$\text{B.}$ $k^{n-1} A^*$
$\text{C.}$ $k^n A^*$
$\text{D.}$ $k^{-1} A^*$
设 $A, B, C$ 是三个随机事件, $0 < P (A) < 1, P (A C)>0$, 则下列说法错误的是 ( ).
$\text{A.}$ $P (A B)+ P (A C)+ P (B C) \geqslant P (A)+ P (B)+ P (C)-1$
$\text{B.}$ $P (A B)+ P (A C) \geqslant P (A)+ P (B C)-1$
$\text{C.}$ $P (B \mid A)> P (B \mid A C)$
$\text{D.}$ $P (B \mid A)+ P (B \mid \bar{A}) \geqslant P (B)$
设 $X$ 是一随机变量, $E X=\mu, D X=\sigma^2(\mu, \sigma>0$ 为常数)，则对任意常数 $c$ ，必有
$\text{A.}$ $E(X-c)^2=E X^2-c^2$
$\text{B.}$ $E(X-c)^2=E(X-\mu)^2$
$\text{C.}$ $E(X-c)^2 < E(X-\mu)^2$
$\text{D.}$ $E(X-\mathrm{c})^2 \geq E(X-\mu)^2$
设总体 $X \sim B(m, \theta) ， X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自该总体的简单随机样本， $\bar{X}$ 为样本均值，则 $E\left[\sum_{i=1}^n\left(\boldsymbol{X}_i-\overline{\boldsymbol{X}}\right)^2\right]=(\quad)$
$\text{A.}$ $(m-1) n \theta(1-\theta)$
$\text{B.}$ $m(n-1) \theta(1-\theta)$
$\text{C.}$ $(m-1)(n-1) \theta(1-\theta)$
$\text{D.}$ $m n \theta(1-\theta)$
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知函数 $f(x)$ 有任意阶导数，满足 $f^{\prime \prime}(x)-2 f(x)=x^{2021} \cos x$ ，其中 $f(0)=1, f^{\prime}(0)=$ 0 ，则 $f^{(2023)}(0)=$
已知微分方程 $y^{\prime}-x \sin 2 y=\frac{\ln x}{\sqrt{\left(1+x^2\right)^3}} \cos ^2 y$ ，则不定积分 $\int x \tan y d x=$
设 $f(x)$ 是周期为 $2 \pi$ 的周期函数，且 $f(x)=2 x+1, x \in(0, \pi)$ ，若 $f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin n x$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n b_{2 n+1}=$
设函数 $f(x, y)$ 可微, $f(x, y)$ 在点 $P_0(1,1)$ 处指向点 $P_1(-7,16)$ 的方向导数等于 $\frac{13}{17}$, 指向点 $P_2(6,-11)$ 的方向导数等于 $-\frac{16}{13}$, 则 $f(x, y)$ 在点 $P_0(1,1)$ 处的最大方向导数为
二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=\left(x_1+x_2\right)^2+\left(x_2-x_3\right)^2$ $+\left(x_3+x_1\right)^2$ 的秩为
在区间 $(0,1)$ 中随机地取两个数, 则事件“两数之和小于 $\frac{6}{5}$ ” 的概率为
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知 $f(x)=\mathrm{e}^{x^{2}}, f[\varphi(x)]=1-x$ 且 $\varphi(x) \geqslant 0$, 求 $\varphi(x)$ 并写出它的定义域.
在上半平面求一条向上凹的曲线, 其上任一点 $P(x, y)$ 处的曲率等于此曲线在该点的法线段 $P Q$ 长 度的倒数 ( $Q$ 是法线与 $x$ 轴的交点), 且曲线在点 $(1,1)$ 处的切线与 $x$ 轴平行.
设有一半径为 $R$ 的球体， $P_0$ 是此球的表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到 $P_0$ 距离的平方成正比 (比例常数 $k>0$ )，求球体的重心位置.
(1) 验证函数 $y(x)=1+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^6}{6!}+\cdots+\frac{x^{3 n}}{(3 n)!}+\cdots$ $(-\infty < x < +\infty)$ 满足微分方程 $y^{\prime \prime}+y^{\prime}+y=e^x$ ；
(2) 利用(1)的结果求幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{3 n}}{(3 n)!}$ 的和函数.
设 $A$ 为 2 阶矩阵， $P=(\alpha, A \alpha)$ ，其中 $\alpha$ 是非零向量且不是 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量.
(I) 证明 $\boldsymbol{P}$ 为可逆矩阵；
(ㅍ) 若 $A^2 \alpha+A \alpha-6 \alpha=0$ ，求 $P^{-1} A P$ ，并判断 $A$ 是否相似于对角矩阵.
设二维随机变量 $(X, Y)$ 概率密度函数为 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}x, & 0 < x < 1,0 < y < 2, \\ 0, & \text { 其他．}\end{array}\right.$ 试求：
$(I) Z= \begin{cases}-1, & Y < 1-X, \\ 1, & 1-X \leqslant Y < 2(1-X), Z \text { 的分布函数 } F_Z(z) ; \\ 2, & Y \geqslant 2(1-X),\end{cases}$
（II）$T=2 X+Y$ 的密度函数 $f_T(t)$ ；
（III） $\operatorname{cov}(X, T)$ ．