高等数学第三次阶段性测试-数学组卷-自助组卷

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高等数学第三次阶段性测试

本试卷总分150分,考试时间120分钟。

注意事项:

答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在本试卷上无效。

考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

学校：_______________ 姓名：_____________ 班级：_______________ 学号：_______________

一、单选题（共 12 题），每题只有一个选项正确

1. 交换积分次序

\int_{- 1}^{0} d y \int_{1 - y}^{2} f (x, y) d x = ()

A.

\int_{1}^{2} d x \int_{0}^{1 - x} f (x, y) d y

B.

\int_{1}^{2} d x \int_{1 - x}^{0} f (x, y) d y

C.

\int_{0}^{2} d x \int_{0}^{1 - x} f (x, y) d y

D.

\int_{0}^{2} d y \int_{1 - x}^{0} f (x, y) d x

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2. 下列级数中绝对收敛的是 ( )。

A.

\sum_{1}^{\infty} \frac{(- 1)^{n}}{\ln (1 + n)}

B.

\sum_{1}^{\infty} \frac{n^{3} - 1}{n^{2} + 2}

C.

\sum_{1}^{\infty} (- 1)^{n} \frac{2 n^{2} + 1}{n^{3} - 2 n + 1}

D.

\sum_{1}^{\infty} \frac{(- 1)^{n} n}{\sqrt{3^{n}}} \sin n

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3. 设

z = x^{y}

, 则有

A.

\frac{\partial z}{\partial x} = x^{y} \ln x

B.

\frac{\partial z}{\partial x} = y x^{j - 1} d x

C.

\frac{\partial z}{\partial x} = x^{y}

D.

\frac{\partial z}{\partial x} = y x^{j - 1}

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4. 若

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} (x - 1)^{n}

在

x = - 1

处收敛, 那么当

x = 2

时该级数

()

A.

条件收敛

B.

绝对收敛

C.

发散

D.

敛散性不变

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5. 已知平面区域

D_{1} = {(x, y) | 0 ⩽ y ⩽ x ⩽ \frac{π}{2}}, D_{2} = {(x, y) | 0 ⩽ x ⩽ y ⩽ \frac{π}{2}}

D_{3} = {(x, y) | \frac{π}{2} ⩽ x ⩽ y ⩽ π}

, 记

I_{1} = \iint_{D_{1}} e^{- x^{2}} \sin y d x d y, I_{2} = \iint_{D_{2}} e^{- x^{2}} \sin y d x d y, I_{3} = \iint_{D_{3}} e^{- x^{2}} \sin y d x d y

,则（）

A.

I_{3} < I_{1} < I_{2}

B.

I_{3} < I_{2} < I_{1}

C.

I_{1} < I_{3} < I_{2}

D.

I_{1} < I_{2} < I_{3}

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6. (2)

\int_{- 1}^{0} d x \int_{- x}^{\sqrt{2 - x^{2}}} f (x, y) d y + \int_{0}^{1} d x \int_{x}^{\sqrt{2 - x^{2}}} f (x, y) d y = ()

A.

\int_{0}^{1} d y \int_{- y}^{y} f (x, y) d x + \int_{1}^{2} d y \int_{- \sqrt{2 - y^{2}}}^{\sqrt{2 - y^{2}}} f (x, y) d x

B.

\int_{0}^{1} d y \int_{- y}^{y} f (x, y) d x + \int_{1}^{\sqrt{2}} d y \int_{- \sqrt{2 - y^{2}}}^{\sqrt{2 - y^{2}}} f (x, y) d x

C.

\int_{- \frac{π}{4}}^{\frac{π}{4}} d θ \int_{0}^{2} f (r \cos θ, r \sin θ) r d r

D.

\int_{- \frac{π}{4}}^{\frac{π}{4}} d θ \int_{0}^{\sqrt{2}} f (r \cos θ, r \sin θ) d r

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7. 设线性无关函数

y_{1}, y_{2}, y_{3}

都是二阶非齐次线性方程

y^{''} + P (x) y^{'} + Q (x) y = f (x)

的解,

C_{1}, C_{2}

是任意常数, 则对应齐次方程

y^{''} + P (x) y^{'} + Q (x) y = 0

的通解是 ( ).

A.

C_{1} y_{1} + C_{2} y_{2}

B.

C_{1} y_{1} + C_{2} y_{2} - 2 y_{3}

C.

C_{1} y_{1} + C_{2} y_{2} - (C_{1} + C_{2}) y_{3}

D.

C_{1} y_{1} + C_{2} y_{2} + (1 - C_{1} - C_{2}) y_{3}

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8. 设区域

D = {(x, y) ∣ x^{2} + y^{2} \leq 4, x \geq 0, y \geq 0}, f (x)

为 D 上的正值连续函数,

a, b

为常数, 则

\iint_{D} \frac{a \sqrt{f (x)} + b \sqrt{f (y)}}{\sqrt{f (x)} + \sqrt{f (y)}} d σ = ()

A.

a b π

B.

\frac{a b π}{2}

C.

(a + b) π

D.

\frac{a + b}{2} π

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9. 若函数

y = x e^{x}

是方程

F (x, y, y^{'}) = 0

解, 则

y = x e^{x} + C

(C为任意常数)

A.

是

F (x, y, y) = 0

的通解

B.

是

F (x, y, y^{'}) = 0

的特解

C.

不是

F (x, y, y) = 0

的通解

D.

不能确定是否为

F (x, y, y^{'}) = 0

的解

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10. 设二元函数

z = f (x, y)

在点

(x_{0}, y_{0})

的某领域内存在连续的二阶偏导数

f_{x}^{'} 、 f_{x y}^{''} 、 f_{y y}^{''}

,且点

(x_{0}, y_{0})

是驻点, 当

f_{x y}^{' 2} (x_{0}, y_{0}) < f_{y y}^{''} (x_{0}, y_{0}) f_{x x}^{''} (x_{0}, y_{0})

, 且

f_{y y}^{'} (x_{0}, y_{0}) < 0

时,下列结论正确的是

A.

f (x_{0}, y_{0})

不是极值

B.

f (x_{0}, y_{0})

是极小值

C.

f (x_{0}, y_{0})

是极大值

D.

不能判断

f (x_{0}, y_{0})

是否为极值

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11. 设

y = y (x)

是二阶常系数线性微分方程

y^{''} + p y^{'} + q y = e^{3 x}

满足初始条件

y (0) = y^{'} (0) = 0

的特解，则当

x \to 0

时，函数

\frac{\ln (1 + x^{2})}{y (x)}

的极限

A.

不存在

B.

等于 1

C.

等于 2

D.

等于 3

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12. 设

f (x, y)

在区域

D = {(x, y) ∣ 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1}

上可微，且

f (0, 0) = 0

，极限

lim_{x \to 0^{+}} \frac{\int_{0}^{x^{2}} d t \int_{x}^{\sqrt{t}} f (t, u) d u}{1 - e^{- x^{4}}} = ()

A.

- \frac{1}{4} f_{y}^{'} (0, 0)

B.

\frac{1}{4} f_{x}^{'} (0, 0)

C.

- \frac{1}{4} f_{x}^{'} (0, 0)

D.

\frac{1}{4} f_{y}^{'} (0, 0)

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二、填空题（共 4 题），请把答案直接填写在答题纸上

13. 函数

f (x, y) = 2 x + 6 y - x^{2} - y^{2}

的驻点为

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14. 设平面曲线

L

为下半圆周

y = - \sqrt{1 - x^{2}}

则曲线积分

\int_{L} (x^{2} + y^{2}) d s =

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15. 设三阶常系数齐次线性微分方程有一个特解为

y = e^{x} (1 + \cos x)

, 则该方程的表达式为

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16. 幂级数

\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n}}{(n + 1) 3^{n}} x^{n}

的收敛半径为

R =

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三、解答题（共 6 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

17. 试计算曲面积分

I = \iint_{Σ} \frac{2 d y d z}{x \cos^{2} x} + \frac{d z d x}{\cos^{2} y} - \frac{d x d y}{z \cos^{2} z}

, 其中

Σ

是球面

x^{2} + y^{2} + z^{2} =

1 的外侧。

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18. 设

f (x)

在

(- \infty, \infty)

上二阶连续可导,

z = f (e^{x} \cos y)

。
(1). 求

\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}

及

\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}

.
(2). 若

\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}} = e^{2 x} (4 z + 8 e^{x} \cos y)

, 且

f (0) = f^{'} (0) = 0

, 试求出

f (u)

的表达式。

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19. 设幂级数

\sum_{n = 0}^{\infty} u_{n} (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n}

, 其中

a_{0} = 0, a_{1} = 1

, 且满足

\frac{1}{n + 2} a_{n + 2} = \frac{2}{n (n + 1)} a_{n}

, 求
(1) 级数的收敛域;
(2) 幂级数的和函数

S (x)

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20. 已知上半平面内一曲线

y = y (x) (x \geq 0)

, 过点

(0, 1)

, 且曲线上任一点

M (x_{0}, y_{0})

处切线斜率数值上等于此曲线与

x

轴、

y

轴、直线

x = x_{0}

所围成面积的 2 倍与该点纵坐标之和, 求此曲线方程.

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21. 设

f : [0, 1] \to R

连续, 求

lim_{n \to \infty} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \dots \int_{0}^{1} f (\frac{x_{1} + \dots + x_{n}}{n}) d x_{1} d x_{2} \dots d x_{n}

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22. 讨论以下级数的收敛性:

\sum_{n = 2}^{\infty} \frac{(- 1)^{n}}{n + (- 1)^{[\sqrt{n}]}}, \sum_{n = 2}^{\infty} \frac{(- 1)^{n}}{\sqrt{n} + (- 1)^{[\sqrt{n}]}},

其中

[x]

表示

x

的整数部分.

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