高等数学第二次阶段性测试-数学组卷-自助组卷

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高等数学第二次阶段性测试

本试卷总分150分,考试时间120分钟。

注意事项:

答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在本试卷上无效。

考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

学校：_______________ 姓名：_____________ 班级：_______________ 学号：_______________

一、单选题（共 12 题），每题只有一个选项正确

x \to 0^{+}

时, 下列无穷小阶数最高的是

A.

\int_{0}^{x} (e^{t^{2}} - 1) d t

B.

\int_{0}^{x} \ln (1 + \sqrt{t^{3}}) d t

C.

\int_{0}^{\sin x} \sin t^{2} d t

D.

\int_{0}^{1 - \cos x} \sqrt{\sin^{3} t} d t

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2. 设

F (x) = \int_{x}^{x + 2 π} e^{\sin t} \sin t d t

, 则

F (x)

A.

为正常数.

B.

为负常数.

C.

恒为零.

D.

不为常数.

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3. 曲线

{\begin{cases} x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4, \\ x^{2} + y^{2} = 2 x \end{cases}

在点

(1, 1, \sqrt{2})

处的法平面方程为

A.

\sqrt{2} x - y = 0

B.

\sqrt{2} x - z = 0

C.

\sqrt{2} x - y = \sqrt{2} - 1

D.

\sqrt{2} x - z = \sqrt{2} - 1

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4. 下列积分中可直接用 Newton-Leibniz 公式计算积分的是（）。

A.

\int_{0}^{6} \frac{x^{3}}{1 + x^{2}} d x

B.

\int_{- 1}^{1} \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x

C.

\int_{0}^{6} \frac{x}{{(x^{2} - 6)}^{2}} d x

D.

\int_{\frac{1}{e}}^{e} \frac{1}{x \ln x} d x

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5. 设

a \neq b

, 若

\int_{0}^{+ \infty} \frac{e^{- a x} - e^{- b x}}{x} d x

收敛,则

a, b

的取值范围为

A.

a < 0, b < 0

B.

a < 0, b > 0

C.

a > 0, b < 0

D.

a > 0, b > 0

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6. 设函数

f (x)

在

x = 0

的某个邻域内具有连续二阶导数, 且

lim_{x \to 0} \frac{f^{''} (x)}{e^{x} - 1} = 1

,则

f (x)

在

x = 0

处 ( ).

A.

有极值;

B.

无极值;

C.

无拐点;

D.

有拐点.

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7. 求

lim_{n \to \infty} \frac{\sin \frac{π}{n}}{n + 1} + \frac{\sin \frac{2 π}{n}}{n + \frac{1}{2}} + \dots + \frac{\sin \frac{n π}{n}}{n + \frac{1}{n}}

A.

B.

\frac{2}{π}

C.

\frac{π}{2}

D.

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8. 函数

f (x) = x e^{x}

的带有皮亚诺型余项的

n

阶麦克劳林公式为 ( ).

A.

x e^{x} = x + \frac{x^{2}}{2!} + \dots + \frac{x^{n}}{n!} + o (x^{n})

B.

x e^{x} = x + x^{2} + \frac{x^{3}}{2!} + \dots + \frac{x^{n}}{(n - 1)!} + o (x^{n})

C.

x e^{x} = x + \frac{x^{2}}{2} + \dots + \frac{x^{n}}{n} + o (x^{n})

D.

x e^{x} = x + x^{2} + \frac{x^{3}}{2} + \dots + \frac{x^{n}}{n - 1} + o (x^{n})

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9. 设

0 < a < 1, I_{1} = \int_{0}^{1} \frac{e^{a x} - 1}{e^{x} - 1} d x, I_{2} = \int_{0}^{1} \frac{\sqrt{a x} + 1}{\sqrt{x} + 1} d x

, 则

A.

I_{1} < a < I_{2}

B.

I_{2} < a < I_{1}

C.

a < I_{1} < I_{2}

D.

I_{1} < I_{2} < a

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10. 已知反常积分 (1)

\int_{- \infty}^{+ \infty} \frac{\sqrt[3]{x}}{1 + x^{4}} d x

,
(2)

\int_{- \infty}^{+ \infty} \frac{x}{1 + x^{4}} d x

,
(3)

\int_{- \infty}^{+ \infty} \frac{x \sqrt[3]{x}}{1 + x^{4}} d x

\int_{- \infty}^{+ \infty} \frac{x^{3}}{1 + x^{4}} d x

, 其中收敛且值等于 0 的是

A.

(1)(2).

B.

(1)(3).

C.

(2)(4).

D.

(1)(2)(3).

E.

(1)(2)(4).

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11. 设函数

f (x)

二阶导数大于零且

f (0) = f (2) = 0

, 给出以下四个结论:
(1) 当

x \in (0, 2)

时,

f (x) < 0

.
(2) 当

x \in (0, 2)

时,

2 f (x) > \int_{0}^{2} f (t) d t

.
(3)当

x \neq 0

时,

f (x) > f^{'} (0) x

.
(4) 当

x \neq 2

时,

f (x) < f^{'} (2) (x - 2)

.

其中正确的是

A.

(1)(2).

B.

(1)(3).

C.

(1)(4).

D.

(2)(3).

E.

(2)(4).

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12. 设有积分

I_{1} = \int_{0}^{1} \frac{x}{\ln (1 + x)} d x, I_{2} = \int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{\ln^{2} (1 + x)} d x, I_{3} = \int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{\ln (1 + x^{2})} d x

, 则

I_{1}, I_{2}, I_{3}

按大小不同排列的顺序是

A.

I_{1} < I_{2} < I_{3}

B.

I_{1} < I_{3} < I_{2}

C.

I_{3} < I_{2} < I_{1}

D.

I_{3} < I_{1} < I_{2}

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二、填空题（共 4 题），请把答案直接填写在答题纸上

13. 设

f (x)

是连续函数，且

F (x) = \int_{\arccos x}^{\ln x} f (t) d t

，则

F^{'} (x) =

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14. 设函数

y = e^{π - 3 x} \cos 3 x

，则

{d y |}_{x = \frac{π}{3}} =

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15. 计算反常积分

\int_{0}^{+ \infty} e^{- x} \sin x d x

；

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16.

lim_{x \to 0 +} \frac{\int_{0}^{\sqrt{x}} \ln (1 + t^{4}) d t}{x^{\frac{5}{2}}}

;

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三、解答题（共 6 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

17. 计算由摆线的参数方程

{\begin{cases} x = a (t - \sin t) \\ y = a (1 - \cos t) \end{cases}

所确定的函数

y = y (x)

的二阶导数．

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18. 若方程

a_{0} x^{n} + a_{1} x^{n - 1} + \dots + a_{n - 1} x = 0

有一个正根

x_{0}

，证明方程

a_{0} n x^{n - 1} + a_{1} (n - 1) x^{n - 2} + \dots + a_{n - 1} = 0

必有一个小于

x_{0}

的正根．

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19. 设

f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + c

, 若点

(1, 0)

是曲线

y = f (x)

的拐点, 且

x = 2

是函数

f (x)

的极值点，（I）常数

a, b, c

的值；（II）求函数

f (x)

的单调性区间和凹凸性区间；（III）求函数

f (x)

的极值.

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20. 证明：当

| x | < 1

时,

x \ln \frac{1 + x}{1 - x} + \cos x \geq 1 + \frac{3}{2} x^{2}

。

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21. 设

Γ

是空间曲线:

y = e^{\frac{x^{2}}{2}}, z = 0, x \geq 0

, 将该曲线绕坐标

y

轴旋转一周,
1) 求所成曲面上的点满足的方程; 2) 求所成曲面与平面

y = e

围成的有界立体的体积。

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22. 设

f (x) = lim_{n \to \infty} \frac{x^{2 n - 1} \sin \frac{π}{2} x + \cos (a + b x)}{x^{2 n} + 1}

(其中

a 、 b

为常数,

0 < a < 2 π)

,
(1)求

f (x)

的表达式;
(2)确定

a, b

之值, 使

lim_{x \to 1} f (x) = f (1), lim_{x \to - 1} f (x) = f (- 1)

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