概率论与数理统计综合测试-数学组卷-自助组卷

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概率论与数理统计综合测试

本试卷总分150分,考试时间120分钟。

注意事项:

答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在本试卷上无效。

考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

学校：_______________ 姓名：_____________ 班级：_______________ 学号：_______________

一、单选题（共 12 题），每题只有一个选项正确

1. 设

A 、 B 、 C

为随机事件,

P (A) = P (B) = P (C) = \frac{1}{4}

P (A B) = P (B C) = P (A C) = \frac{1}{6}, P (A \cup B \cup C) = \frac{3}{8}

, 则

P (C ∣ A B) =

A.

\frac{1}{16}

B.

\frac{1}{4}

C.

\frac{1}{2}

D.

\frac{2}{3}

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2. 设

X_{1}, \dots, X_{n}

是简单随机样本, 来自总体

X \sim N (μ, σ^{2})

, 其中

μ, σ

是未知参数, 则以下是统计量的是（）。

A.

X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n} - n^{2} E (\bar{X})

B.

X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n} - n μ

C.

\frac{X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}}{n \sqrt{S^{2}}}

D.

\frac{X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}}{n σ}

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3. 设二维随机变量

(X, Y)

的概率密度为

f (x, y) = {\begin{cases} 1, | y | < x, 0 < x < 1, \\ 0, 其他. \end{cases}

则

P {Y > 0 | X = \frac{1}{2}} = 1

A.

\frac{1}{6}

B.

\frac{1}{4}

C.

\frac{1}{3}

D.

\frac{1}{2}

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4. 设来自总体

X \sim N (μ, σ^{2})

的简单随机样本的容量为 10 , 其中

μ

末知. 若

σ^{2}

的置信度为

0.95

的双侧置信区间的置信上限为 1 , 则

σ^{2}

的置信度为

0.90

的单侧置信区间的置信下限为

A.

\frac{χ_{0, 025}^{2} (9)}{χ_{0, 10}^{2} (9)}

B.

\frac{χ_{0, 975}^{2} (9)}{χ_{0.10}^{2} (9)}

C.

\frac{χ_{0, 975}^{2} (9)}{χ_{0, 90}^{2} (9)}

D.

\frac{χ_{0.975}^{2} (9)}{χ_{0.05}^{2} (9)}

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5. 设

X

为非负连续型随机变量, 其

k (k = 1, 2, \dots)

阶矩存在概率密度记为

f (x)

, 分布函数记为

F (x)

,则

\int_{0}^{+ \infty} [1 - F (x)] d x =

A.

E X

B.

E (X^{2})

C.

D X

D.

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6. 设随机变量

X

服从区间

[0, 2]

上的均匀分布, 若

P (X^{2} \leq a) = \frac{1}{4}

, 则

a =

A.

\frac{1}{4}

B.

\frac{1}{2}

C.

\frac{\sqrt{2}}{2}

D.

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7. 设随机变量

X

满足

E (X) = E (X^{3}) = 0, E (X^{2}) = 1, D (X^{2}) = 2

, 则根据切比雪夫不等式,

P {| X^{2} + 2 X - 1 | ⩾ 5} ⩽ ()

A.

\frac{3}{25}

B.

\frac{4}{25}

C.

\frac{1}{5}

D.

\frac{6}{25}

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8. 设

{\bar{X}}_{n}

和

S_{n}^{2}

分别是样本

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

的样本均值及样本方差. 若添加一次试验, 则样本扩展为

X_{1}

X_{2}, \dots, X_{n}, X_{n + 1}

, 其样本方差为

S_{n + 1}^{2}

. 当

S_{n + 1}^{2} = a S_{n}^{2} + \frac{\sum_{i = 1}^{n} {(X_{n + 1} - b)}^{2}}{n (n + 1)}

成立时, 有

A.

a = \frac{n - 1}{n}, b = {\bar{X}}_{n}

B.

a = \frac{n}{n + 1}, b = \bar{X}

C.

a = \frac{n - 1}{n}, b = X_{i}

D.

a = \frac{n}{n + 1}, b = X_{i}

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9. 设离散型随机变量

X

的分布函数

F (x) = {\begin{array}{cc} 0 & x < 0 \\ a & 0 \leq x < 2 \\ \frac{3}{4} - a & 2 \leq x < 3 \\ a + b & x \geq 3 \end{array}

, 且

P (X = 3) = \frac{1}{2}

则

a, b

的值分别为

A.

\frac{1}{3}, \frac{1}{6}

B.

\frac{1}{6}, \frac{1}{3}

C.

\frac{1}{3}, \frac{2}{3}

D.

\frac{1}{4}, \frac{3}{4}

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10. 已知二维随机变量

(X, Y)

的分布函数为

F (x, y) = A (B + \arctan \frac{x}{2}) (C + \arctan \frac{y}{3})

, 则

A.

A = \frac{1}{π^{2}}, B = \frac{π}{4}, C = \frac{π}{6}

B.

A = \frac{1}{π^{2}}, B = C = \frac{π}{2}

C.

A = 1, B = \frac{π}{4}, C = \frac{π}{6}

D.

A = 1, B = C = \frac{π}{2}

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11. 设

X_{1}, X_{2}, X_{3}

相互独立且

E (X_{i}) = 1, D (X_{i}) = 1 (i = 1, 2, 3)

, 则对于任意给定的

ε > 0

由切比雪夫不等式可得

A.

P (| \sum_{i = 1}^{3} X_{i} - 1 | < ε) \geq 1 - ε^{- 2}

B.

P (| \frac{1}{3} \sum_{i = 1}^{3} X_{i} - 1 | < ε) \geq 1 - ε^{- 2}

C.

P (| \sum_{i = 1}^{3} X_{i} - 3 | < ε) \geq 1 - ε^{- 2}

D.

P (| \sum_{i = 1}^{3} X_{i} - 3 | < ε) \geq 1 - 3 ε^{- 2}

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12. 设

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

为来自总体

X \sim N (0, σ^{2})

的简单随机样本, 样本均值与样本方差分别为

\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i}, S^{2} = \frac{1}{n - 1} \sum_{i = 1}^{n} {(X_{i} - \bar{X})}^{2}

, 则

D (\sqrt{n} {\bar{X}}^{2} - S^{2}) = ()

A.

2 (\frac{1}{n} - \frac{1}{n - 1}) σ^{4}

B.

(n - 1) σ^{2}

C.

(\frac{1}{n} + \frac{1}{n - 1}) σ^{2}

D.

2 (\frac{1}{n} + \frac{1}{n - 1}) σ^{4}

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二、填空题（共 4 题），请把答案直接填写在答题纸上

13. 设

(X, Y) \sim N (2, 1, 4, 9, - 0.5)

, 则

X

与

Y

的协方差等于

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14. 若

(X, Y)

服从二维正态分布

N (1, 2; 1, 4; 0.5)

, 则

Cov (X - 1, \frac{Y - 2}{2}) =

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15. 箱子中装有 5 个相同的球, 编号分别为

1, 2, 3, 4, 5

, 从中随机取出 3 个,

X

表示所取出球的最大编号, 则

E (X) =

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16. 设总体

X \sim N (0, σ^{2}), X_{1}, X_{2}, \dots, X_{10}

为

X

的简单随机样本, 则统计量

Y = \frac{\sqrt{3} \sum_{i = 1}^{4} (- 1)^{i - 1} X_{i}}{\sqrt{\sum_{i = 5}^{10} X_{i}^{2}}} 服从分布为

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三、解答题（共 6 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

17. 生产线生产的产品成箱包装，每箱质量是随机的．假设平均每箱重 50 千克，标准差为 5 千克，若用载重为 5 吨的汽车承运，试用中心极限定理说明每辆汽车最多可以装多少箱，才能保证不超载的概率大于

0.977 . (Φ (2) = 0.977)

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18. 在任意长为

t

的时间内发生事件

A

的次数

N (t)

服从参数为

\frac{1}{2} t

的泊松分布, 设

T

为相邻两次事件

A

之间的时间间隔.
(1) 求

T

的概率密度函数;
(2) 求使

E (| T - C |)

取得最小值的常数

C

;
(3) 在 (2) 的基础上, 证明:

C

满足

P {T ⩽ C} = P {T ⩾ C} = \frac{1}{2}

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19. 设总体

X

的密度函数为

f (x) = {\begin{array}{cl} \frac{1}{θ} e^{- \frac{x_{μ}}{θ}}, & x ⩾ μ, \\ 0, & 其他, \end{array}

其中

θ > 0, θ, μ

为参数，

(X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n})

为取自总体

X

的简单随机样本。
(I) 如果参数

μ

已知，求未知参数

θ

的极大似然估计量

\hat{θ}

;
(II) 如果参数

θ

已知, 求末知参数

μ

的极大似然估计量

\hat{μ}

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20. 设二维正态随机变量

(X, Y)

的概率密度为

f (x, y)

. 已知条件概率密度

\begin{aligned} f_{X ∣ Y} (x ∣ y) = A e^{- \frac{2}{3} {(x - \frac{y}{2})}^{2}}, - \infty < x < + \infty, 和 \\ f_{Y ∣ X} (y ∣ x) = B e^{- \frac{2}{3} {(y - \frac{x}{2})}^{2}}, - \infty < y < + \infty . \end{aligned}

求 (I) 常数

A

和

B

;
(II)

X

和

Y

的边缘概率密度

f_{X} (x)

和

f_{Y} (y)

;
(III)

f (x, y)

和

ρ_{X Y}

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21. 设总体

X

具有概率密度函数

f (x; α) = {\begin{cases} \frac{α}{1 - α} x^{\frac{α}{1 - α} - 1}, & 0 < x < 1 \\ 0, & 其他 \end{cases}

其中

0 < α < 1

是未知参数,

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

是来自该总体的一个简单样本. (1) 求

α

的矩估计量

{\hat{α}}_{1}

；（2）求

α

的最大似然估计量

{\hat{α}}_{2}

；（3）令

{\hat{α}}_{3} = max {X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}}

，求

E ({\hat{α}}_{3})

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22. 假设某咖啡店在任何长为

t

(单位:小时) 的时间内卖出的咖啡杯数

N (t)

服从参数为

λ t

的泊松分布. 若一天内卖出 100 杯咖啡，则当天该店净利润大于 0.
(I) 求相继卖出两杯咖啡之间的时间间隔

T_{1}

的概率密度;
（II）记一天中，从开始营业到开始盈利的时间为

T_{2}

，求

T_{2}

的概率密度；
(III) 已知

λ = 20

, 问长期来看, 若要盈利, 则该咖啡店需平均每天至少营业多少小时?

(\int_{0}^{+ \infty} t^{n} e^{- t} d t = n!)

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