线性代数大题综合训练-数学组卷-自助组卷

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线性代数大题综合训练

本试卷总分150分,考试时间120分钟。

注意事项:

答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在本试卷上无效。

考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

学校：_______________ 姓名：_____________ 班级：_______________ 学号：_______________

一、解答题（共 20 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

1. 设

A = [\begin{array}{ccc} 1 & - 2 & 3 \\ - 1 & 2 & - 3 \\ 1 & 4 & - 3 \end{array}], ξ_{1} = [\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ - 1 \end{matrix}]

, 记满足

A ξ_{2} = 2 ξ_{1}, A^{2} ξ_{3} = 6 ξ_{1}

的向量为

ξ_{2}, ξ_{3}

，证明:对任意满足条件的向量

ξ_{2}, ξ_{3}

，都有

ξ_{1}, ξ_{2}, ξ_{3}

线性无关.

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2. 设

A = (\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array})

为实数域

R

上的

3 \times 3

不可逆方阵. 若

A

的伴随矩阵

A^{*}

为

A^{*} = (\begin{array}{lll} a_{11}^{2} & a_{12}^{2} & a_{13}^{2} \\ a_{21}^{2} & a_{22}^{2} & a_{23}^{2} \\ a_{31}^{2} & a_{32}^{2} & a_{33}^{2} \end{array}),

求

A

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3. 若二次型

f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = x_{1}^{2} + 2 x_{2}^{2} + a x_{3}^{2} + 2 x_{1} x_{2} - 2 x_{1} x_{3}

经可逆线性变换

x = P y

化为二次型

g (y_{1}, y_{2}, y_{3}) = y_{1}^{2} + 5 y_{2}^{2} + 8 y_{3}^{2} + 4 y_{1} y_{2} - 4 y_{1} y_{3} - 4 y_{2} y_{3}

, 求

a

与矩阵

P

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4. 设 3 阶实对称矩阵

A

的秩为

2, λ_{1} = λ_{2} = 6

是

A

的二重特征值。若

α_{1} = (1, a, 0)^{T}, α_{2} = (2

1, 1)^{T}, α_{3} = (0, 1, - 1)^{T}

都是矩阵

A

属于特征值 6 的特征向量.
(I) 求

a

的值;
(II) 求

A

的另一特征值和对应的特征向量;
(III) 若

β = (- 2, 2, - 1)^{T}

, 求

A^{n} β

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5. (1)

A

是

n

阶实对称矩阵.

λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{n}

是

A

的特征值,

ξ_{1}, ξ_{2}, \dots, ξ_{n}

是

A

的分别对应于

λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{n}

的标准正交特征向量. 证明

A

可表示成

n

个秩为 1 的实对称矩阵的和;
(2) 设

A = [\begin{array}{ccc} 0 & - 1 & 4 \\ - 1 & 3 & - 1 \\ 4 & - 1 & 0 \end{array}]

, 将

A

表示成三个秩为 1 的实对称矩阵的和.

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6. 设

A = [\begin{array}{llll} 2 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 3 & 1 \\ 1 & a & b & 1 \end{array}], b = [\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}]

, 已知

[\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 1 \\ - 1 \end{matrix}]

是线性方程组

A X = b

的一个解, 求线性方程组

A X = b

的通解.

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7. 已知向量组

α_{1} = {[\begin{array}{llll} 1 & 2 & 1 & 0 \end{array}]}^{T}, α_{2} = {[\begin{array}{llll} 1 & 3 & 2 & - 1 \end{array}]}^{T}

α_{3} = {[\begin{array}{llll} 1 & a & 0 & 1 \end{array}]}^{T}, α_{4} = {[\begin{array}{llll} 2 & 7 & 3 & a - 2 \end{array}]}^{T},

β = {[\begin{array}{llll} 3 & 8 & 4 & b - 1 \end{array}]}^{T}

, 讨论

a, b

为何值时

β

可由向量组

α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4}

唯一线性表示; 能线性表示但不唯一; 不能线性表示.

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8. 设向量组

A : a_{1}, a_{2}, a_{3}

线性无关, 向量

b_{1}

能由向量组

A

线性表示, 向量

b_{2}

不能由向量组

A

线性表示,

k

为任意常数. 问:
(1) 向量组

a_{1}, a_{2}, a_{3}, k b_{1} + b_{2}

是否线性相关, 为什么?
(2) 向量组

a_{1}, a_{2}, a_{3}, b_{1} + k b_{2}

是否线性相关, 为什么?

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9. 二次型

\begin{aligned} f (x, y) = 3 x^{2} + 2 \sqrt{3} x y + 5 y^{2} \\ g (u, v) = 6 u^{2} + 2 v^{2} \end{aligned}

试求可逆矩阵

C

，使得

f

的二次型矩阵

A

与

g

的二次型矩阵

B

合同，即

B = C^{T} A C

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10. 设有线性方程组

(\begin{array}{ccc} 1 & λ - 1 & - 2 \\ 0 & λ - 2 & λ + 1 \\ 0 & 0 & 2 λ + 1 \end{array}) (\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}) = (\begin{array}{l} 1 \\ 3 \\ 5 \end{array}),

问

λ

为何值时（1）有惟一解；（2）无解；（3）有无限多解? 并在有无限多解时求其通解.

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11. 设

A, B

均为 3 阶矩阵,

E

为 3 阶单位矩阵, 已知

A B = 2 A + B, B = [\begin{array}{lll} 2 & 0 & 2 \\ 0 & 4 & 0 \\ 2 & 0 & 2 \end{array}]

, 求

A - E

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12. 计算二阶行列式

| \begin{array}{cc} 1 & \log_{a} a \\ \log_{a} b & 1 \end{array} |

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13. 已知

ξ = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ - 1 \end{matrix})

是矩阵

A = (\begin{array}{ccc} 2 & - 1 & 2 \\ 5 & a & 3 \\ - 1 & b & - 2 \end{array})

的特征向量。
(1) 求常数

a, b

及

ξ

所对应的特征值;
(2) 问

A

是否能对角化? 请说明理由。

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14.

A = (\begin{array}{cccc} a & b & c & d \\ - b & a & - d & c \\ - c & d & a & - b \\ - d & - c & b & a \end{array})

, 求

| A |

。

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15. 计算

D = | \begin{array}{cccccc} 0 & 0 & \dots & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & ⋮ & 2 & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 2012 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ 2013 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 2014 \end{array} |

。

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16. 计算 5 阶行列式：

D = | \begin{array}{ccccc} a + 1 & 0 & 0 & 0 & a + 2 \\ 0 & a + 5 & 0 & a + 6 & 0 \\ 0 & 0 & a + 9 & 0 & 0 \\ 0 & a + 7 & 0 & a + 8 & 0 \\ a + 3 & 0 & 0 & 0 & a + 4 \end{array} |

的
值。

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17.

| \begin{array}{cccc} a & b & c & d \\ p & q & r & s \\ t & u & v & w \\ l a + m p & l b + m q & l c + m r & l d + m s \end{array} |

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18. 计算

| \begin{array}{ccccccc} 1 & 1 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ \dots \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 1 & 1 \end{array} |

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19. 设

A = (\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 0 \\ 3 & 4 & 0 \\ - 1 & 2 & 1 \end{array}), B = (\begin{array}{ccc} 2 & 3 & - 1 \\ - 2 & 4 & 0 \end{array})

．求（1）

A B^{T}

；（2）

| 4 A |

．

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20. 设

A

是

n

阶矩阵，且满足

A^{2} = A

（此时

A

称为幂等矩阵）．
（1）求

A

的特征值可能的取值；
（2）证明：

E + A

是可逆矩阵．

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