设 $A =\left[\begin{array}{ccc}1 & -2 & 3 \\ -1 & 2 & -3 \\ 1 & 4 & -3\end{array}\right], \xi _1=\left[\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ -1\end{array}\right]$, 记满足 $A \xi _2=2 \xi _1, A ^2 \xi _3=6 \xi _1$ 的向量为 $\xi _2, \xi _3$ ，证明:对任意满足条件的向量 $\xi_2, \xi_3$ ，都有 $\xi_1, \xi_2, \xi_3$ 线性无关.