设
$$
A=\left(\begin{array}{ccc}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{array}\right)
$$
为实数域 $R$ 上的 $3 \times 3$ 不可逆方阵. 若 $A$ 的伴随矩阵 $A^*$ 为
$$
A^*=\left(\begin{array}{lll}
a_{11}^2 & a_{12}^2 & a_{13}^2 \\
a_{21}^2 & a_{22}^2 & a_{23}^2 \\
a_{31}^2 & a_{32}^2 & a_{33}^2
\end{array}\right),
$$
求 $A$.