线性代数第一次阶段性测试-数学组卷-自助组卷

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线性代数第一次阶段性测试

本试卷总分150分,考试时间120分钟。

注意事项:

答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在本试卷上无效。

考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

学校：_______________ 姓名：_____________ 班级：_______________ 学号：_______________

一、单选题（共 12 题），每题只有一个选项正确

1. 设

A, B

均为

n

阶可逆方阵, 则下列等式成立的是

A.

| (A B)^{- 1} | = | A |^{- 1} | B |^{- 1}

;

B.

| - A B | = | A B |

;

C.

| A^{2} - B^{2} | = | A + B ∥ A - B |

;

D.

| 2 A | = 2 | A |

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2. 设有

n

元非齐次方程

A x = b

, 则

()

A.

若

A x = 0

只有零解,则

A x = b

有惟一解

B.

A x = b

有惟一解的充要条件是

R (A) = n

C.

A x = b

有两个不同的解, 则

A x = 0

有无限多解

D.

A x = b

有两个不同的解，则

A x = 0

的基础解系中含有两个以上向量

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3. 设

A 、 B

为

n

阶方阵,

| A | = 2, | B | = - 3

, 则

| 2 A^{*} B^{- 1} | =

A.

-12

B.

- \frac{4}{3}

C.

- \frac{2^{2 n - 1}}{3}

D.

(D) - \frac{2^{n + 1}}{3}

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4. 若非齐次线性方程组

{\begin{cases} k x_{1} + x_{2} + x_{3} = 1, \\ x_{1} + k x_{2} = 3, \\ 3 x_{1} + x_{2} + x_{3} = 1 \end{cases}

有唯一解，则

A.

k = 0

或

k = 3

B.

k \neq 0

C.

k \neq 3

D.

k \neq 0

且

k \neq 3

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5. 下列行列式中等于零的是

A.

| \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ - 1 & 0 & 3 \\ 2 & 2 & 5 \end{array} |

B.

| \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ - 1 & 0 & 2 \\ 2 & 2 & 3 \end{array} |

C.

| \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 0 & - 4 & 0 \\ - 2 & - 7 & - 6 \end{array} |

D.

| \begin{array}{ccc} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 2 & 3 \end{array} |

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6. 下列命题中正确的是

A.

若向量组

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m} （ m > 1 ）

线性相关，则任一向量

α_{i} (1 \leq i \leq m)

可由其余向量线性表出.

B.

若有不全为 0 的数

λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{m} (m > 1)

，使

i_{1} α_{1} + λ_{2} α_{2} + \dots + λ_{m} α_{m} + λ_{1} β_{1} + λ_{2} β_{2} + \dots + λ_{m} β_{m} = o

成立，则向量组

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m}

线性相关，向量组

β_{1}, β_{2}, \dots, β_{m}

亦线性相关.

C.

若

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m} (m > 1)

中任意两个向量线性无关，则

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m}

线性无关.

D.

若向量组

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m} (m > 1)

中任意一个向量都不能用其余向量线性表出，则晌量组

α_{1}, α, \dots, α_{m}

线性无关.

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7. 设

A

是

m \times n

矩阵,

m < n, r (A) = m

, 以下选项中错误的是

A.

存在

n

阶可逆矩阵

Q

, 使得

A Q = (E_{m} : O)

B.

存在

m

阶可逆矩阵

P

, 使得

P A = (E_{m} : O)

C.

齐次线性方程组

A x = 0

有零解。

D.

非齐次线性方程组

A x = b

有无穷多解.

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8. 设

A, B

均是

n

阶矩阵，且

A B = A + B

，则

A.

A - E

为可逆矩阵

B.

A + E

为可逆矩阵

C.

A - 2 E

为可逆矩阵

D.

B + E

为可逆矩阵

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9. 设矩阵

A

的秩为 r ，则

A

中（）

A.

所有

r - 1

阶子式都不为 0

B.

所有

r - 1

阶子式全为 0

C.

至少有一个 r 阶子式不等于 0

D.

所有 r 阶子式都不为 0

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10. 设矩阵

A = (\begin{array}{ccc} 3 & - 1 & 2 \\ 1 & 0 & - 1 \\ - 2 & 1 & 4 \end{array}), A^{*}

是

A

的伴随矩阵，则

A^{*}

中位于

(1, 2)

的元素是

A.

-6

B.

C.

D.

-2

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11. n 维向量组

a_{1} \dots \dots a_{i} (2 < I < n)

线性无关的充要条件是

A.

存在一组不全为 0 的常数

k_{1} \dots \dots k_{i}

使

k_{1} a_{1} + \dots \dots + k_{i} a_{i} \neq 0

B.

该组中任意两向量都线性无关

C.

该组中存在一个向量，它不能用其余向量线性表示

D.

该组中任意向量都不能用其余向量线性表示

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12. 设矩阵

A = (\begin{array}{cccc} 1 & - 3 & 1 & - 2 \\ 2 & - 5 & - 2 & - 2 \\ 0 & - 4 & 5 & 1 \\ - 3 & 9 & - 6 & 7 \end{array}), M_{3 j}

是

A

的第 3 行第

j

列元素的余子式

(j = 1, 2, 3, 1)

.则

M_{31} + 3 M_{32} - 2 M_{33} + 2 M_{34} =

A.

B.

1 .

C.

-2 .

D.

-3 .

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二、填空题（共 4 题），请把答案直接填写在答题纸上

13. 设

A = (\begin{array}{lll} λ & 1 & 0 \\ 0 & λ & 1 \\ 0 & 0 & λ \end{array})

, 则当

k \geq 2

时,

A^{k} =

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14. 设

A = (a_{i j})

为 3 阶矩阵,

A_{i j}

为元素

a_{i j}

的代数余子式, 若

A

的每行元素之和均为 2 , 且

| A | = 3

, 则

A_{11} + A_{21} + A_{31} =

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15. 计算行列式

| \begin{array}{rrr} 1 & x + 1 & x^{2} + 1 \\ 1 & 2 x + 2 & 2 x^{2} + 4 \\ 1 & 3 x + 3 & 3 x^{2} + 9 \end{array} |

。

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16.

A = (\begin{array}{lllll} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 3 \end{array})

, 则

{(A^{*})}^{- 1} =

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三、解答题（共 6 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

17. 计算

D = | \begin{array}{ccccc} 1 + a_{1} & 1 & 1 & \dots & 1 \\ 1 & 1 + a_{2} & 1 & \dots & 1 \\ \dots \\ 1 & 1 & 1 & \dots & 1 + a_{n} \end{array} |

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18. 设

α = [\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}], β = [\begin{array}{l} 1 \\ 3 \\ 4 \end{array}]

, 分别计算

α β^{T}, β α^{T}, α α^{T}

及

β^{T} α, α^{T} β, α^{T} α

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19. 设矩阵

A = (\begin{array}{ccccc} 1 & - 2 & - 1 & 0 & 2 \\ - 2 & 4 & 2 & 6 & - 6 \\ 2 & - 1 & 0 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 3 & 3 & 4 \end{array})

．
求：（1）秩（A）；
（2）

A

的列向量组的一个最大线性无关组。

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20. 设有向量组

α_{1} = (\begin{array}{l} 1 \\ 3 \\ 2 \\ 0 \end{array}), α_{2} = (\begin{matrix} 7 \\ 0 \\ 14 \\ 3 \end{matrix}), α_{3} = (\begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}), α_{4} = (\begin{array}{l} 5 \\ 1 \\ 6 \\ 2 \end{array})

,
(1) 求该向量组的秩;
(2) 求该向量组的一个极大无关组, 并把其余向量分别用求得的极大无关组线性表出.

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21. 设

η_{0}

是非齐次线性方程组

A x = b

的一个特解，

ξ_{1}, ξ_{2}

是其导出组

A x = 0

的一个基础解系．试证明
（1）

η_{1} = η_{0} + ξ_{1}, η_{2} = η_{0} + ξ_{2}

均是

A x = b

的解；
（2）

η_{0}, η_{1}, η_{2}

线性无关。

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22. 熟知实数域

R

上的一元多项式集合

R [x]

在多项式加法和数乘下构成

R

上的一个线性空间. 设

f_{i} (x) \in R [x]

且次数为

n_{i}, 1 \leq i \leq 2024

, 这里规定零多项式的次数为

- \infty

, 已知

\sum_{i = 1}^{2024} n_{i} < 2047276

证明:

f_{1} (x), f_{2} (x), \dots, f_{2024} (x)

为空间

R [x]

中线性相关的向量组.

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