单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
下列结论正确的是
$\text{A.}$ $\lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=1$
$\text{B.}$ $\lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x= e$
$\text{C.}$ $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{-x}=- e$
$\text{D.}$ $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x= e ^{-1}$
若 $y=\sin f\left(x^2\right), f(u)$ 一阶可导，则 $d y=()$
$\text{A.}$ $\cos f\left(x^2\right) d x$
$\text{B.}$ $f^{\prime}\left(x^2\right) \cos f\left(x^2\right) d x$
$\text{C.}$ $2 x f^{\prime}\left(x^2\right) \cos f\left(x^2\right) d x$
$\text{D.}$ $2 x^2 f^{\prime}\left(x^2\right) \cos f\left(x^2\right) d x$
设 $f(x)$ 为微分方程 $y^{\prime \prime}-y^{\prime}- e ^{\sin x}=0$ 的解, 且 $f^{\prime}\left(x_0\right)=0$, 则 $f(x)$ 在 $(\quad)$.
$\text{A.}$ $x_0$ 的某邻域内单调递减
$\text{B.}$ $x_0$ 处取极小值
$\text{C.}$ $x_0$ 处取极大值
$\text{D.}$ $x_0$ 的某邻域内单调递增
设 $f(x)$ 是严格单调的连续奇函数, $g(x)$ 是偶函数, 已知数列 $\left\{x_n\right\}$, 则 ()
$\text{A.}$ 当 $\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(g\left(x_n\right)\right)$ 存在时, $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 存在
$\text{B.}$ 当 $\lim _{n \rightarrow \infty} g\left(f\left(x_n\right)\right)$ 存在时, $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 存在
$\text{C.}$ 当 $\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(g\left(x_n\right)\right)$ 存在时, $\lim _{n \rightarrow \infty} g\left(x_n\right)$ 存在, 但 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 不一定存在
$\text{D.}$ 当 $\lim _{n \rightarrow \infty} g\left(f\left(x_n\right)\right)$ 存在时, $\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_n\right)$ 存在, 但 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 不一定存在
设连续函数 $f(x, y)$ 满足 $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)-x-2 y-4}{x^2+y^2}=-1$, 则 $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(2 h, 0)-f(0,-h)}{h}=($ )
$\text{A.}$ -1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
设 $f(x)=\int_0^x\left( e ^{\cos t} \cos t-k\right) d t$, 若积分 $\int_a^{a+2 \pi} f(x) d x$ 的值与 $a$ 无关, 则 $k=(\quad)$.
$\text{A.}$ $\int_0^{2 \pi} e ^{\cos x} \cos x d x$
$\text{B.}$ $\frac{1}{2 \pi} \int_0^{2 \pi} e ^{\cos x} \cos x d x$
$\text{C.}$ $\int_0^\pi e^{\cos x} \cos x d x$
$\text{D.}$ 0
已知连续函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 满足 $\int_0^x f(u) g(u) d u=f(\eta) \int_0^x g(u) d u$ ，其中 $\eta$ 介于 0 和 $x$ 之间，若 $f^{\prime}(0) \neq 0$ ，且 $g(x)>0$ ，则极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\eta}{x}=(\quad)$ ．
$\text{A.}$ $-\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ 0
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ $\frac{1}{2}$
已知定义在 $[0,+\infty)$ 上的函数 $y(x)$ 是微分方程 $\left\{\begin{array}{l}y y^{\prime}=f(x), \\ y(0)=0\end{array}\right.$ 的解，其中连续函数 $f(x)$ 是周期为 $T$ 的非负偶函数，曲线 $y(x)$ 与 $x$ 轴及直线 $x=T$ 所围图形绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体体积为 $V_x$ ，曲线 $f(x)$ 与 $x$ 轴及直线 $x=T$ 所围图形绕 $y$ 轴旋转一周所得旋转体体积为 $V_y$ ，则（ ）。
$\text{A.}$ $V_x=V_y$
$\text{B.}$ $V_x>V_y$
$\text{C.}$ $V_x < V_y$
$\text{D.}$ $V_x, V_y$ 大小不定
现有两个命题：（1） $A ^*$ 对称当且仅当 $A$ 对称；（2） $A ^*$ 正定当且仅当 $A$ 正定．下列说法中，正确的是（ ）
$\text{A.}$ （1），（2）均正确．
$\text{B.}$ （1）正确，（2）错误．
$\text{C.}$ （1）错误，（2）正确．
$\text{D.}$ （1），（2）均错误．
齐次线性方程组
$$
\left\{\begin{aligned}
x_2+a x_3+b x_4 & =0, \\
-x_1+c x_3+d x_4 & =0, \\
a x_1+c x_2-e x_4 & =0, \\
b x_1+d x_2+e x_3 & =0
\end{aligned}\right.
$$
的一般解以 $x_3, x_4$ 作为自由未知量．则 $a, b, c, d, e$ 满足的条件及该齐次线性方程组的基础解系分别为
$\text{A.}$ $a d-e-b c=0 ;(c, a, 1,0)^{\mathrm{T}},(d,-b, 0,1)^{\mathrm{T}}$ ．
$\text{B.}$ $a d-e-b c=0 ;(c,-a, 1,0)^{\mathrm{T}},(d,-b, 0,1)^{\mathrm{T}}$ ．
$\text{C.}$ $a d+e-b c=0 ;(c,-a, 1,0)^{\mathrm{T}},(d, b, 0,1)^{\mathrm{T}}$ ．
$\text{D.}$ $a d+e-b c=0 ;(c,-a, 1,0)^{\mathrm{T}},(d,-b, 0,1)^{\mathrm{T}}$ ．
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
曲线 $x^3+y^3=y^2$ 的斜渐近线方程为
设圆与曲线 $x=y^2$ 在 $(0,0)$ 处有公切线且它们关于 $y$ 的二阶导数值相同, 则该圆的方程为
通解为 $y=C_1 e ^{-x}+C_2 x$（ $C_1, C_2$ 是任意常数）的常微分方程是 $\qquad$ ．
设 $\int_1^{+\infty} \frac{a}{x(2 x+a)} d x=\ln 2$, 则 $a=$
有一容器, 其内侧壁由过原点的曲线 $y=y(x)(x>0)$ 绕 $y$ 轴旋转而成, 容器底部 (原点处) 开有一小孔. 已知液体从容器底部流出的速率 $v=k \sqrt{2 g h}$ (单位: $m / s$ ), 其中 $g$ 为重力加速度 (单位: $m / s ^2$ ), $h$ 为小孔上方的液面高度 (单位: m ), $k$ 为大于 0 的常数. 若液面高度以 $l m / s$ 的速率匀速下降, 则 $y(x)=$
行列式 $\left|\begin{array}{cccc}a & 0 & -1 & 1 \\ 0 & a & 1 & -1 \\ -1 & 1 & a & 0 \\ 1 & -1 & 0 & a\end{array}\right|=$
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
给定曲线 $y=\frac{1}{x^2}$ ，
(1) 求曲线在横坐标为 $x_0$ 的点处的切线方程;
(2) 求曲线的切线被两坐标轴所截线段的最短长度.
如下图，曲线 $C$ 的方程为 $y=f(x)$ ，点 $(3.2)$ 是它的一个拐点，直线 $l_1$ 与 $l_2$ 分别是曲线 C 在点 $(0,0)$ 与 $(3,2)$ 处的切线，其交点为 $(2,4)$. 设函数 $f(x)$ 具有三阶连续导数，计算定积分 $\int_0^3\left(x^2+x\right) f^{\prime \prime \prime}(x) \mathrm{d} x$.
已知 $y_1(x)=e^x, y_2(x)=u(x) e^x$ 是二阶微分方程
$$
(2 x-1) y^{\prime \prime}-(2 x+1) y^{\prime}+2 y=0
$$
的解，若 $u(-1)=e, u(0)=-1$ ，求 $u(x)$ ，并写出该微分方程的通解.
设 $I(a, b)=\int_0^{2 \pi}(a \cos x-2 b \sin x)^2 d x$ ，在 $I(a, b) \leqslant 4 \pi$ 下，求使得 $a^2+4 b^2-2 a-b \leqslant$ $k$ 成立的 $k$ 的最小值．
设 $f(x)$ 为连续的正值函数，满足 $\int_0^1 f(x) d x=1$ ，证明：
（ I ） $\int_0^1 \sqrt{f(x)} d x \leqslant 1 \leqslant \int_0^1 f^2(x) d x$ ；
（II） $\int_0^1 \sqrt{f(x)} \sin x d x \cdot \int_0^1 \sqrt{f(x)} \cos x d x \leqslant \frac{1}{2}$ ．
已知 $A =\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & a \\ 0 & a & -1\end{array}\right)$,
（I）解齐次线性方程组 $\left( A ^{ T } A \right) x = 0$ ；
（II）讨论二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)= x ^{ T }\left( A ^{ T } A \right) x$ 的正定性。