单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
已知二元函数 $F(x, y)=f(x, y) \varphi(x, y)$ ，其中 $\varphi(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处连续，且 $f(0,0)=0$ ， $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} f_x^{\prime}(x, y)=\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} f_y^{\prime}(x, y)=0$ ，则 $F(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处 $(\quad)$ ．
$\text{A.}$ 不连续
$\text{B.}$ 连续，但偏导数不存在
$\text{C.}$ 连续，偏导数存在但不可微
$\text{D.}$ 可微
已知 $f(0)=-1$ ，导数 $f^{\prime}(x)$ 在 $[-5,3]$ 上连续，曲线 $y=f^{\prime}(x)$ 与直线 $x=-5, x=3$ 及 $x$轴围成的图像如图所示，相应的面积分别为 $S_1=2, S_2=4, S_3=3$ ，记 $f(x)$ 在 $[-5,3]$ 上的最大值为 $M$ ，最小值为 $m$ ，则 $M-m=(\quad)$ ．
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
下列说法正确的个数是（ ）
（1）若 $\lim _{x \rightarrow 0} f(x)=0$ ，则 $\lim _{x \rightarrow 0} f(x) \sin \frac{1}{x}=0$ ；
（2）若 $\lim _{x \rightarrow 0} f(x) \sin \frac{1}{x}=0$ ，则 $\lim _{x \rightarrow 0} f(x)=0$ ；
（3）若 $f(x)$ 在 $x=0$ 的去心邻域内无界，则 $f(x) \sin \frac{1}{x}$ 在 $x=0$ 的去心邻域内无界；
（4）若 $f(x) \sin \frac{1}{x}$ 在 $x=0$ 的去心邻域内无界，则 $f(x)$ 在 $x=0$ 的去心邻域内无界。
$\text{A.}$ 1.
$\text{B.}$ 2 ．
$\text{C.}$ 3.
$\text{D.}$ 4 ．
设 $y=y(x)$ 为微分方程 $2 x y d x+\left(x^2-1\right) d y=0$ 满足初始条件 $y(0)=1$ 的特解，则 $\int_0^{\frac{1}{2}} y(x) d x=(\quad)$.
$\text{A.}$ $-\ln 3$
$\text{B.}$ $\ln 3$
$\text{C.}$ $-\frac{1}{2} \ln 3$
$\text{D.}$ $\frac{1}{2} \ln 3$
设 $D$ 是由曲线 $2 x y=1$ 与直线 $x+y=\frac{3}{2}$ 所围成的封闭区域，已知函数 $f(x, y)$ 在区域 $D$ 上连续，则 $\iint_D f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=$
$\text{A.}$ $2 \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \theta \int_{\frac{1}{\sqrt{\sin 2 \theta}}}^{\frac{3}{2(\sin \theta+\cos \theta)}} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{~d} r$ ．
$\text{B.}$ $2 \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \theta \int_{\frac{1}{\sqrt{2 \sin 2 \theta}}}^{\frac{3}{2(\sin \theta+\cos \theta)}} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{~d} r$ ．
$\text{C.}$ $2 \int_{\frac{\pi}{4}}^{\arctan 2} \mathrm{~d} \theta \int_{\frac{1}{\sqrt{\sin 2 \theta}}}^{\frac{3}{2(\sin \theta+\cos \theta)}} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{~d} r$ ．
$\text{D.}$ $2 \int_{\frac{\pi}{4}}^{\arctan 2} \mathrm{~d} \theta \int_{\frac{1}{\sqrt{2 \sin 2 \theta}}}^{\frac{3}{2(\sin \theta+\cos \theta)}} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{~d} r$ ．
曲线 $y=\frac{3 x^3}{2-x^2}+\operatorname{arccot}(x+2)$ 的渐近线条数为
$\text{A.}$ 4 ．
$\text{B.}$ 3 ．
$\text{C.}$ 2.
$\text{D.}$ 1 ．
设 $f(x)=\int_{-1}^x t \cos t d t, x \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$, 则曲线 $y=f(x)$ 与 $x$ 轴所围图形的面积为 $(\quad)$
$\text{A.}$ $2 \int_0^1 x \sin x d x$.
$\text{B.}$ $2 \int_0^1 x^2 \sin x d x$.
$\text{C.}$ $2 \int_0^1 x \cos x d x$.
$\text{D.}$ $2 \int_0^1 x^2 \cos x d x$.
设 $\boldsymbol{A}$ 为 4 阶矩阵， $\boldsymbol{A}^*$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵. 若 $\boldsymbol{A}\left(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{A}^*\right)=O$ ，且 $A \neq A^*$ ，则 $r(A)$ 的取值为
$\text{A.}$ 0 或 1
$\text{B.}$ 1 或 3
$\text{C.}$ 2 或 3
$\text{D.}$ 1 或 2
设 $\lambda=2$ 是非奇异矩阵 $A$ 的一个特征值，则 $\left(\frac{1}{3} A^2\right)^{-1}$ 有一特征值等于
$\text{A.}$ $\frac{4}{3}$
$\text{B.}$ $\frac{3}{4}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{4}$
若矩阵 $A , B$ 为正交矩阵，则下列命题中，正确命题的个数为（）
(1) $| A |= \pm 1$.
(2) 若 $A$ 存在实特征值, 则必为 $\pm 1$.
(3) $A B$ 也是正交矩阵.
(4) 若 $| A |=-| B |$, 则 $A + B$ 必不可逆.
$\text{A.}$ 1 .
$\text{B.}$ 2 .
$\text{C.}$ 3.
$\text{D.}$ 4.
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
函数 $y=x^{2 x}$ 在区间 $(0,1]$ 上的最小值为
设方程 $x^3+y^3-3 x+6 y=2$, 则 $\left.\frac{d^2 x}{d y^2}\right|_{x=2}=$
曲线 $y=\cos x\left(x \in\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\right)$ 与 $x$ 轴所围区域绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体的侧面积 $S=$
设 $y=y(x)$ 满足 $y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+y= e ^{-x}, y(0)=y^{\prime}(0)=1$, 则 $\int_0^{+\infty} x d y=$
设 $D$ 是由直线 $y=x+3, y=\frac{x}{2}-\frac{5}{2}, y=\frac{\pi}{2}$ 及 $y=-\frac{\pi}{2}$ 所围成的平面区域，则二重积分 $I=\iint_D(1+x) \sqrt{1-\cos ^2 y} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=$
二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+3 x_2^2+x_3^2+2 x_1 x_2+2 x_1 x_3$ $+2 x_2 x_3$ ，则 $f$ 的正惯性指数为 $\qquad$ .
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求曲线 $2 y^3-2 y^2+2 x y-x^2=1$ 在 $(1,1)$ 处的曲率半径．
设函数 $y=f(x)$ 由参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=2 t+t^2 \\ y=\psi(t)\end{array} \quad(t>-1)\right.$ 所确定，其中 $\psi(t)$ 具有 2 阶导数，且 $\psi(1)=\frac{5}{2}, \psi^{\prime}(1)=6$.已知 $\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}=\frac{3}{4(1+t)}$ ，求函数 $\psi(t)$.
计算二重积分 $\iint_D \frac{\left(x^2+|x y|\right)(1+x)}{\sqrt{1-x^2-y^2}} d x d y$ ，其中积分区域 $D=\left\{(x, y) \mid\left(x^2+y^2\right)^3 \leqslant x^4+y^4\right\}$
已知函数 $f(x)$ 在 $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上连续，且满足
$$
f(x)=\sqrt{1-\sin 2 x}-\int_0^{\frac{\pi}{2}} f(x) \sin x d x
$$
（I）求函数 $f(x)$ 的表达式；
（II）记曲线 $y=f(x)$ 与 $y=-\frac{1}{4} \tan x$ 以及 $y$ 轴所围区域为 $D$ ，求区域 $D$ 绕直线 $y=-\frac{1}{4}$ 旋转一周所得旋转体的体积 $V$ ．
设函数 $f(x)$ 在 $[0,2]$ 上连续，在 $(0,2)$ 内可导，且 $\int_0^1 f(x) d x=0, \int_1^2 f(x) d x=0, f(1)=1$ ．证明：
（1）存在 $c \in(0,1)$ ，使得 $(1-c)[1-f(0)]=f^{\prime}(c) e ^{c-1}$ ；
（2）存在 $\xi \in(0,2)$ ，使得 $f^{\prime}(\xi)=\int_0^{\xi} f(x) d x$ ．
设 $A$ 为 3 阶实对称阵, $\xi _1=(a,-2,1)^{ T }$ 是 $A x = 0$ 的解, $\xi _2=(a, a,-3)^{ T }$是 $( A - E ) x = 0$ 的解, 且 $B =\left(\begin{array}{ccc}3 & 1 & 2 \\ 1 & a & -2 \\ 2 & -2 & 9\end{array}\right)$ 是正定矩阵.
(I) 求参数 $a$;
(II) 求正交变换 $x = P y$, 将二次型 $f= x ^{ T } B x$ 化为标准形;
（III）当 $x ^{ T } x =2$ 时, 求 $f= x ^{ T } B x$ 的最大值.