单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
设 $f(1)=0, f^{\prime}(1)=a$, 则极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+2 f\left( e ^{x^2}\right)}-\sqrt{1+f\left(1+\sin ^2 x\right)}}{\ln \cos x}$ 为
$\text{A.}$ $a$
$\text{B.}$ $-a$
$\text{C.}$ $3 a$
$\text{D.}$ $-3 a$
已知 $f(x)=\frac{\ln \left(1+x^3\right)}{x-|\ln (1+x)|} \cdot \frac{ e ^{\frac{1}{x-1}}+ e ^{x-1}}{ e ^{\frac{1}{x-1}}- e ^{x-1}}$ ，则下列说法正确的是 $(\quad)$ ．
$\text{A.}$ $f(x)$ 有一个跳跃间断点，一个可去间断点和一个无穷间断点
$\text{B.}$ $F_1(x)=\left\{\begin{array}{ll}f(x), & x \neq 0 \text { 且 } x \neq 1, \\ 1, & x=0 \text { 或 } x=1\end{array}\right.$ 在闭区间 $\left[-\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right]$ 上有界
$\text{C.}$ $F_1(x)=\left\{\begin{array}{ll}f(x), & x \neq 0 \text { 且 } x \neq 1, \\ 1, & x=0 \text { 或 } x=1\end{array}\right.$ 在开区间 $\left(-\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right)$ 内不可积
$\text{D.}$ 记 $F(x)=\int_0^x f(t) d t$ ，则 $F(x)$ 在开区间 $\left(-1, \frac{1}{2}\right)$ 内可导
若反常积分 $\int_0^1 \frac{\ln x}{\sin ^a\left(\frac{\pi}{2} x\right) \cdot \cos ^{1-a}\left(\frac{\pi}{2} x\right)} d x$ 收敛，则 $a$ 的取值范围是（ ）
$\text{A.}$ $-1 < a < 1$
$\text{B.}$ $0 < a < 1$
$\text{C.}$ $0 < a < 2$
$\text{D.}$ $-1 < a < 0$
设函数 $y_1(x), y_2(x), y_3(x)$ 分别为一阶非齐次线性微分方程 $y^{\prime}+p(x) y=q(x)$ 的三个不同的解，已知 $y_1(0)=a, y_2(0)=b, y_3(0)=c$ ，则下列说法中，正确的是
$\text{A.}$ $\frac{y_3(x)-y_1(x)}{y_2(x)-y_1(x)}$ 是否为常数与 $p(x), q(x)$ 有关．
$\text{B.}$ $\frac{y_3(x)-y_1(x)}{y_2(x)-y_1(x)}$ 是否为常数与 $a, b, c$ 的取值有关．
$\text{C.}$ 若 $a < b < c$ ，则 $\frac{y_3(x)-y_1(x)}{y_2(x)-y_1(x)}$ 必为大于 0 的常数．
$\text{D.}$ 若 $a < b < c$ ，则 $\frac{y_3(x)-y_1(x)}{y_2(x)-y_1(x)}$ 必为小于 0 的常数．
设 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right)$ 是 2 阶实矩阵，则下列不是 $\boldsymbol{A}$ 可相似对角化的充分条件的是
$\text{A.}$ $a d-b c < 0$ ．
$\text{B.}$ $b, c$ 同号。
$\text{C.}$ $b, c$ 相等．
$\text{D.}$ $b, c$ 异号．
设 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{lll}a & 1 & 1 \\ 1 & a & a \\ 1 & 1 & a\end{array}\right)$ 可经初等列变换化成 $\boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{lll}a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a\end{array}\right)$ ，则 $a$ 的取值范围为
$\text{A.}$ $\{a \mid a \in \mathbf{R}, a \neq-2\}$ ．
$\text{B.}$ $\{a \mid a \in \mathbf{R}, a \neq-2, a \neq-1\}$ ．
$\text{C.}$ $\{a \mid a \in \mathbf{R}, a \neq 1, a \neq-1\}$ ．
$\text{D.}$ $\{a \mid a \in \mathbf{R}, a \neq-1\}$ ．
设3维列向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 与 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3$ 满足 $\boldsymbol{\beta}_1=t \boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\beta}_2=(t-1) \boldsymbol{\alpha}_1+t \boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\beta}_3= (t-1) \boldsymbol{\alpha}_2+t \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{A}$ 是 3 阶矩阵，则 $t \neq 0$ 是 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3$ 为方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的一个基础解系的
$\text{A.}$ 充分不必要条件．
$\text{B.}$ 必要不充分条件．
$\text{C.}$ 充分必要条件．
$\text{D.}$ 既不是充分条件，也不是必要条件．
在假设检验中，原假设为 $H_0$ ，备择假设为 $H_1^{\prime}$ ，则（ ）
$\text{A.}$ 检验结果为接受 $H_0$ 时，只可能犯第一类错误
$\text{B.}$ 检验结果为接受 $H_0$ 时，既可能犯第一类错误也可能犯第二类错误
$\text{C.}$ 检验结果为拒绝 $H_0$ 时，只可能犯第一类错误
$\text{D.}$ 检验结果为拒绝 $H_0$ 时，既可能犯第一类错误也可能犯第二类错误
设随机变量 $X$ 的分布函数为 $F(x)$ ，概率密度为 $f(x)$ ，则下列说法中，正确的是（ ）
$\text{A.}$ $f(-x)$ 必不为某个随机变量的概率密度．
$\text{B.}$ $F(-x)$ 必为某个随机变量的分布函数．
$\text{C.}$ $\int_x^{x+1} f(t) d t$ 必不为某个随机变量的概率密度。
$\text{D.}$ $\int_x^{x+1} F(t) d t$ 必为某个随机变量的分布函数．
设总体 $X$ 服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^2\right)(\sigma>0), X_1, X_2, \cdots, X_{2 n}(n \geqslant 2)$ 为来自该总体的简单随机样本, 其样本均值为 $\bar{X}=\frac{1}{2 n} \sum_{i=1}^{2 n} X_i$. 记统计量 $Y_1=\sum_{i=1}^{2 n}\left(X_i-\bar{X}\right)^2, Y_2=\sum_{i=1}^n\left(X_i-X_{n+i}\right)^2, Y_3=$ $\sum_{i=1}^n\left(X_i+X_{n+i}-2 \bar{X}\right)^2$, 则这 3 个统计量的数学期望 $E\left(Y_1\right), E\left(Y_2\right), E\left(Y_3\right)$ 的大小关系为
$\text{A.}$ $E\left(Y_1\right)>E\left(Y_2\right)>E\left(Y_3\right)$.
$\text{B.}$ $E\left(Y_1\right)>E\left(Y_3\right)>E\left(Y_2\right)$.
$\text{C.}$ $ E\left(Y_3\right)>E\left(Y_1\right)>E\left(Y_2\right)$.
$\text{D.}$ $E\left(Y_2\right)>E\left(Y_1\right)>E\left(Y_3\right)$.
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设当 $x>0$ 时，方程 $k x+\frac{675}{x^2}=2025$ 有且仅有一个根，则 $k$ 的取值范围是
设曲线 $\Gamma$ 的极坐标方程为 $r=\sin 2 \theta\left(0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}\right)$, 则 $\Gamma$ 围成的有界区域绕极轴旋转一周所得旋转体的体积为 .
设 $f(x)$ 是周期为 $2 \pi$ 的周期函数，且 $f(x)=2 x+1, x \in(0, \pi)$ ，若 $f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin n x$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n b_{2 n+1}=$
设 $\mathrm{e}^{a x} \geqslant 1+x$ 对任意实数 $x$ 均成立，则 $a$ 的取值范围为
设
$$
f(x)=\left|\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & x \\
1 & 2 & 0 & x^2 \\
1 & 3 & 3 & x^3 \\
1 & 4 & 6 & x^4
\end{array}\right|,
$$
则 $f(x+1)-f(x)=$ $\qquad$ ．
如果二维随机变量 $(X, Y)$ 的分布函数为
$$
F(x, y)= \begin{cases}1-e^{-\lambda_1 x}-e^{-\lambda_2 y}+e^{-\lambda_1 x-\lambda_2 y-\lambda_2 \max [x, y]}, & x>0, y>0, \\ 0, & \text { 其他, }\end{cases}
$$
其中 $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_{12}>0$ ，则 $X$ 和 $Y$ 的边缘分布函数分别为 $\qquad$ ．
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设有一均匀、柔软的绳索，两端固定，绳索仅受到重力的作用下垂，试问该绳索在平衡状态下是怎样的曲线？
设 $f(x, y)=4 x^2(x-2 y)+16 y(x y-3)-33 x$ ，求其在平面区域 $D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant y \leqslant x \leqslant 3\}$ 上的取值范围。
计算三重积分 $I=\iiint_{\Omega}(x-y-z)^2 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中
$$
\Omega:(x+y-z)^2+(x-y+z)^2+(x+y+z)^2 \leq 1 .
$$
设数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足条件: $a_0=1$ 及 $a_n=\frac{2 n-1}{2 n} a_{n-1}, S(x)$ 是幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{2 n}$ 的和函数.
(I) 验证当 $x \in(-1,1)$ 时, $S(x)$ 满足微分方程: $\left(1-x^2\right) S^{\prime}(x)=x S(x)$, 并求 $S(x)$;
(II) 设平面闭区域 $D$ 是由曲线 $y=S(x)\left(-\frac{1}{2} \leqslant x \leqslant \frac{1}{2}\right)$ 与 $x$ 轴所围图形, 求 $D$ 绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体的体积。
设 $n$ 阶实对称矩阵 $A$ 满足 $A ^2= E$ ，且秩 $r( A + E )=k < n$ ．
（1）求二次型 $x ^{ T } A x$ 的规范形；
（2）证明 $B = E + A + A ^2+ A ^3+ A ^4$ 是正定矩阵，并求行列式 $| B |$ 的值．
设总体 $X \sim N\left(\alpha+\beta, \sigma^2\right), Y \sim N\left(\alpha-\beta, \sigma^2\right), X$ 和 $Y$ 相互独立．
（1）若 $\alpha, \beta$ 末知，$\sigma^2$ 已知，$X_1, X_2, \cdots, X_n$ 和 $Y_1, Y_2, \cdots, Y_n$ 分别是总体 $X$ 和 $Y$ 的简单随机样本，试求 $\alpha, \beta$ 的矩估计量和最大似然估计量．
（2）求（1）中矩估计量及最大似然估计量的数学期望和方差．
（3）当 $\alpha, \beta, \sigma^2$ 为何值时，可使 $(X+Y)^2$ 服从 $\chi^2$ 分布？