单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1-\cos x}{\sqrt{x}} & x>0 \\ x^2 g(x) & x \leq 0\end{array}\right.$ ，其中 $g(x)$ 是有界函数，则 $f(x)$ 在 $x=0$ 处
$\text{A.}$ 极限不存在
$\text{B.}$ 极限存在但不连续
$\text{C.}$ 连续但不可导
$\text{D.}$ 可导
设 $f(x)$ 处处可导，则
$\text{A.}$ 当 $\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=-\infty$ 时，必有 $\lim _{x \rightarrow-\infty} f^{\prime}(x)=-\infty$
$\text{B.}$ 当 $\lim _{x \rightarrow-\infty} f^{\prime}(x)=-\infty$ 时，必有 $\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=-\infty$
$\text{C.}$ 当 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=+\infty$ 时，必有 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=+\infty$
$\text{D.}$ 当 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=+\infty$ 时，必有 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=+\infty$
当 $x \rightarrow 0$ 时，若 $\alpha_1(x), \alpha_2(x), \beta_1(x), \beta_2(x)$ 都是非零无穷小量，且 $\alpha_1(x) \sim \alpha_2(x)$ ， $\beta_1(x) \sim \beta_2(x)$ ，则下列命题中，错误的是（ ）
$\text{A.}$ 若 $\alpha_1(x) \sim \beta_1(x)$ ，则 $\alpha_2(x)-\beta_2(x)=o\left(\alpha_2(x)\right)$ ．
$\text{B.}$ 若 $\alpha_1(x)-\beta_1(x)=o\left(\alpha_1(x)\right)$ ，则 $\alpha_2(x) \sim \beta_2(x)$ ．
$\text{C.}$ 若 $\alpha_1(x) \sim \beta_1(x)$ ，则 $\alpha_1(x)-\beta_1(x) \sim \alpha_2(x)-\beta_2(x)$ ．
$\text{D.}$ 若 $\alpha_1(x)=o\left(\beta_1(x)\right)$ ，则 $\alpha_1(x)-\beta_1(x) \sim \alpha_2(x)-\beta_2(x)$ ．
设 $z=z(x, y)$ 是由方程 $x^2+y^2+z^2=\int_x^y f(x+y-t) \mathrm{d} t$ 确定的二元隐函数, 其中 $f$ 是连续函数, 则 $2 z\left(\frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial y}\right)=$
$\text{A.}$ $f(x)-f(y)+2(x-y)$.
$\text{B.}$ $f(y)-f(x)-2(x+y)$.
$\text{C.}$ $f(x)-f(y)+2(x+y)$.
$\text{D.}$ $f(y)-f(x)-2(x-y)$.
曲线 $\frac{x^2}{2}+y^2=1$ 上曲率半径的最小值为（ ）
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ $\sqrt{2}$
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$
下列积分中, 发散的是
$\text{A.}$ $\int_1^{+\infty} \mathrm{e}^{-x} \sin x \mathrm{~d} x$.
$\text{B.}$ $\int_1^{+\infty} \frac{\ln x}{x^2} \mathrm{~d} x$.
$\text{C.}$ $\int_0^1 \frac{\ln (1+x)}{x^2} \mathrm{~d} x$.
$\text{D.}$ $\int_0^1 \frac{x-1}{\ln x} \mathrm{~d} x$.
设 $A$ 为 3 阶矩阵，且 $| A |>0, A ^* \sim\left(\begin{array}{ccc}-2 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ ，则 $r( E + A )+r( E - A )= $ ．
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ 3
$\text{C.}$ 4
$\text{D.}$ 5
设 $y=y(x)$ 为微分方程 $2 x y d x+\left(x^2-1\right) d y=0$ 满足初始条件 $y(0)=1$ 的特解，则 $\int_0^{\frac{1}{2}} y(x) d x=(\quad)$.
$\text{A.}$ $-\ln 3$
$\text{B.}$ $\ln 3$
$\text{C.}$ $-\frac{1}{2} \ln 3$
$\text{D.}$ $\frac{1}{2} \ln 3$
下列说法
（1）已知 $n$ 阶方阵 $A , B , C$ 满足 $B C = O$ ，且 $r( A ) < r( C )$ ，则存在 $n$ 维非零列向量 $\alpha$ ，使得 $A \alpha =$ Bo；
（2）已知矩阵方程 $A X B = C$ 有解，其中 $A , B , C$ 分别为 $m \times n, l \times s, m \times s$ 矩阵， $X$ 为 $n \times l$ 矩阵，若 $r( A )=r( A \vdots C )=n, r( B )=r\binom{ B }{ C }=l$ ，则方程 $A X B = C$ 有唯一解；
（3）非齐次方程组 $\left(\begin{array}{ll} A & O \\ O & B \end{array}\right)\binom{ x }{ y }=\binom{ 0 }{ \beta }$ 有解的充要条件是 $r( B )>0, r( A )=r( A \vdots \beta )$ ；
（4）非齐次方程组 $A x = \beta$ 有解的充要条件是向量 $\beta$ 与齐次方程组 $A ^{ T } x = 0$ 的所有解向量正交．正确的个数为（）。
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，则下列命题中是矩阵 $A$ 不可相似对角化的充分条件的有（ ）个
（1）$r( A )>n-\lim _{\lambda \rightarrow 0} \frac{\ln |f(\lambda)|}{\ln |\lambda|}$（其中 $f(\lambda)=|\lambda E - A |$ ）；
（2）$r\left( A ^3\right) < r\left( A ^2\right)$ ；
（3） $A \neq E$ ，且有 $A ^2+ E =2 A$ ；
（4）$r[ A ( A -2 E )]>r\left[ A ^2( A -2 E )\right]$ ．
$\text{A.}$ 4
$\text{B.}$ 3
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 1
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{\sin x}-e^x}{\sin x-\sin (\sin x)}=$
曲线 $x^3+y^3=y^2$ 的斜渐近线方程为
$\int_0^1 x \arcsin (1-x) \mathrm{d} x=$
设 $\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{t^2+1} \\ y=\ln \left(t+\sqrt{t^2+1}\right)\end{array}\right.$ ，则 $\left.\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}\right|_{t=1}=$
设 $f(x)$ 是定义在 $(-\infty,+\infty)$ 上以 $2 \pi$ 为周期的二阶可导函数，且满足等式 $f(x)+ 2 f^{\prime}(x+\pi)=\sin x$ ，则 $f(x)=$
设 $4 \times 4$ 矩阵 ${A}=\left({\alpha}, {\gamma}_{2}, {\gamma}_{3}, {\gamma}_{4}\right), {B}=\left({\beta}, {\gamma}_{2}, {\gamma}_{3}, {\gamma}_{4}\right)$, 其中 ${\alpha}, {\beta}, {\gamma}_{2}, {\gamma}_{3}, {\gamma}_{4}$ 均为 4 维列向量, 且已知行列式 $|{A}|=4,|{B}|=1$, 则行列式 $|{A}+{B}|=$
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
讨论方程 $\left(x^2-3\right)-k e ^{-x}=0$ 根的情况, 其中 $k$ 为实数.
已知 $z=z(x, y)$ 是由方程 $10 x^2-6 x y+y^2-2 x z-z^2+18=0$ 确定的函数．
（1）求 $z=z(x, y)$ 的极值；
（2）求 $z=z(x, y)$ 在约束条件 $y=x$ 下的极值．
设 $y=y(x)$ 满足 $x^2 y^{\prime}+\left(x^2-3\right) y^2=0$ 且 $y(1)=1$ ．
（1）求 $y=y(x)$ 的表达式；
（2）计算 $\int_0^3 y^2(x) \mathrm{d} x$ ．
已知曲线 $\left\{\begin{array}{l}x=a(t-\sin t) \\ y=a(1-\cos t)\end{array}(0 \leq t \leq \pi)(a>0)\right.$ 与 $y=0$ 所围成区域为 $D$, 且该区域绕 $x$轴旋转一周的体积与该区域的面积相等，则
(I) 求常数 $a$ 的值.
(II) 求 $D$ 绕 $x$ 轴旋转一周的侧表面积.
设平面区域 $D=\left\{(x, y) \mid 3 \leqslant x^2+y^2 \leqslant 8\right\}$.
(I) 求 $\iint_D \frac{x^2}{\sqrt{1+x^2+y^2}} d x d y$;
(II) 证明: 存在 $(\xi, \eta) \in D$, 使得 $\xi^2=\frac{16}{15} \sqrt{\xi^2+\eta^2+1}$.
设三阶实对称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的各行元素之和均为 3 ，向量 $\alpha_1=(-1,2,-1)^T, \alpha_2=(0,-1,1)^T$ 是 线性方程 组 $A x=0$ 的两个解.
(1) 求 $\boldsymbol{A}$ 的特征值与特征向量
(2) 求正交矩阵 $Q$ 和对角矩阵 $\Lambda$ ，使得 $Q^T A Q =\Lambda$