单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
设 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+x)-\left(a x+b x^2\right)}{x^2}=2$ ，则
$\text{A.}$ $a=1, b=-\frac{5}{2}$
$\text{B.}$ $a=0, b=-2$
$\text{C.}$ $a=0, b=-\frac{5}{2}$
$\text{D.}$ $a=1, b=-2$
设 $F(x)=\int_x^{x+2 \pi} e^{\sin t} \sin t \mathrm{~d} t$ ，则 $F(x)$
$\text{A.}$ 为正常数
$\text{B.}$ 为负常数
$\text{C.}$ 恒为零
$\text{D.}$ 不为常数
曲线 $\left\{\begin{array}{l}x=t^2+7 \\ y=t^2+4 t+1\end{array}\right.$ 上对应于 $t=1$ 的点处的曲率半径是
$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{10}}{50}$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{10}}{100}$
$\text{C.}$ $10 \sqrt{10}$
$\text{D.}$ $5 \sqrt{10}$
设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续，其导函数的图形如下图所示，则 $f(x)$ 有
$\text{A.}$ 一个极小值点和两个极大值点
$\text{B.}$ 两个极小值点和一个极大值点
$\text{C.}$ 两个极小值点和两个极大值点
$\text{D.}$ 三个极小值点和一个极大值点
下列结论正确的是
$\text{A.}$ $\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x(x+1)}$ 与 $\int_0^1 \frac{\mathrm{d} x}{x(x+1)}$ 都收敛
$\text{B.}$ $\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x(x+1)}$ 与 $\int_0^1 \frac{\mathrm{d} x}{x(x+1)}$ 都发散
$\text{C.}$ $\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x(x+1)}$ 发散， $\int_0^1 \frac{\mathrm{d} x}{x(x+1)}$ 收敛
$\text{D.}$ $\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x(x+1)}$ 收敛， $\int_0^1 \frac{\mathrm{d} x}{x(x+1)}$ 发散
若 $f^{\prime \prime}(x)$ 不变号，且曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1,1)$ 处的曲率圆为 $x^2+y^2=2$ ，则函数 $f(x)$ 在区间 $(1,2)$ 内
$\text{A.}$ 有极值点，无零点
$\text{B.}$ 无极值点，有零点
$\text{C.}$ 有极值点，有零点
$\text{D.}$ 无极值点，无零点
设函数 $f(t)$ 连续，令$F(x, y)=\int_0^{x-y}(x-y-t) f(t) \mathrm{d} t$ 则
$\text{A.}$ $\frac{\partial F}{\partial x}=\frac{\partial F}{\partial y}, \frac{\partial^2 F}{\partial x^2}=\frac{\partial^2 F}{\partial y^2}$
$\text{B.}$ $\frac{\partial F}{\partial x}=\frac{\partial F}{\partial y}, \frac{\partial^2 F}{\partial x^2}=-\frac{\partial^2 F}{\partial y^2}$
$\text{C.}$ $\frac{\partial \boldsymbol{F}}{\partial x}=-\frac{\partial \boldsymbol{F}}{\partial y}, \frac{\partial^2 \boldsymbol{F}}{\partial x^2}=\frac{\partial^2 \boldsymbol{F}}{\partial y^2}$
$\text{D.}$ $\frac{\partial F}{\partial x}=-\frac{\partial F}{\partial y}, \frac{\partial^2 F}{\partial x^2}=-\frac{\partial^2 F}{\partial y^2}$
记行列式 $\left|\begin{array}{cccc}x-2 & x-1 & x-2 & x-3 \\ 2 x-2 & 2 x-1 & 2 x-2 & 2 x-3 \\ 3 x-3 & 3 x-2 & 4 x-5 & 3 x-5 \\ 4 x & 4 x-3 & 5 x-7 & 4 x-3\end{array}\right|$ 为 $f(x)$ ，则方程 $f(x)=0$ 的根的个数为
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
已知 $\beta_{1} 、 \beta_{2}$ 是非齐次线性方程组 $A x=b$ 的两个不同的解, $\alpha_{1} 、 \alpha_{2}$ 是对应齐次线性方程组 $A x=0$ 的基础解系, $k_{1}, k_{2}$ 为任意常数, 则方程组 $A x=b$ 的通解 (一般解) 必是
$\text{A.}$ $k_{1} \alpha_{1}+k_{2}\left(\alpha_{1}+\alpha_{2}\right)+\frac{\beta_{1}-\beta_{2}}{2}$
$\text{B.}$ $k_{1} \alpha_{1}+k_{2}\left(\alpha_{1}-\alpha_{2}\right)+\frac{\beta_{1}+\beta_{2}}{2}$
$\text{C.}$ $k_{1} \alpha_{1}+k_{2}\left(\beta_{1}+\beta_{2}\right)+\frac{\beta_{1}-\beta_{2}}{2}$
$\text{D.}$ $k_{1} \alpha_{1}+k_{2}\left(\beta_{1}-\beta_{2}\right)+\frac{\beta_{1}+\beta_{2}}{2}$
设 $A$ 是任一 $n(n \geq 3)$ 阶方阵， $A^*$ 是其伴随矩阵，又 $k$ 为常数，且 $k \neq 0, \pm 1$ ，则必有 $(k A)^*=$
$\text{A.}$ $k A^*$
$\text{B.}$ $k^{n-1} A^*$
$\text{C.}$ $k^n A^*$
$\text{D.}$ $k^{-1} A^*$
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\int_{-1}^1\left(x+\sqrt{1-x^2}\right)^2 \mathrm{~d} x=$
微分方程 $y^{\prime}+y \tan x=\cos x$ 的通解为 $y=$
换二次积分的积分次序:
$$
\int_{-1}^0 \mathrm{~d} y \int_2^{1-y} f(x, y) \mathrm{d} x=
$$
曲线 $y=\frac{x^2}{2 x+1}$ 的斜渐近线方程为
函数 $y=\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}$ 在区间 $\left[\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right]$ 上的平均值为
已知四阶矩阵 $A$ 与 $B$ 相似，矩阵为 $A$ 的特征值 $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}$ ，则行列式 $\left|B^{-1}-E\right|=$
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设函数 $y=f(x)$ 由方程 $x y+2 \ln x=y^4$ 所确定，则曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1,1)$ 处的切线方程是
求二元函数 $f(x, y)=x^2 y(4-x-y)$ 在由直线 $x+y=6 ， x$ 轴和 $y$ 轴所围成的闭区域 $D$ 上的极值、最大值与最小值.
设区域 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq 1, x \geq 0\right\}$ ，计算二重积分 $I=\iint_D \frac{1+x y}{1+x^2+y^2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$.
有一平底容器，其内侧壁是由曲线 $x=\varphi(y)(y \geq 0)$ 绕 $y$ 轴旋转而成的旋转曲面，容器的底面圆的半径为 2 m . 根据设计要求，当以 $3 \mathrm{~m}^3 / \mathrm{min}$ 的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以 $\pi \mathrm{m}^2 / \mathrm{min}$ 的速率均匀扩大(假设注入液体前，容器内无液体).
(1) 根据 $t$ 时刻液面的面积，写出 $t$ 与 $\varphi(y)$ 之间的关系式；
（2）求曲线 $x=\varphi(y)$ 的方程. (注: m 表示长度单位米， $\min$表示时间单位分.)
设奇函数 $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上具有二阶导数，且 $f(1)=1$ ，证明:
(1) 存在 $\xi \in(0,1)$ ，使得 $f^{\prime}(\xi)=1$.
(2) 存在 $\eta \in(-1,1)$ ，使得 $f^{\prime \prime}(\eta)+f^{\prime}(\eta)=1$.
设 $A$ 为 2 阶矩阵， $P=(\alpha, A \alpha)$ ，其中 $\alpha$ 是非零向量且不是 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量。
(I) 证明 $\boldsymbol{P}$ 为可逆矩阵；
() 若 $A^2 \alpha+A \alpha-6 \alpha=0$ ，求 $P^{-1} A P$ ，并判断 $A$ 是否相似于对角矩阵.