一、单选题 （共 13 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 是 $n$ 维列向量, 则下列命题中正确的是
$\text{A.}$ 若 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 中任意 $s-1$ 个向量都线性无关,则向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 必线性无关.
$\text{B.}$ 若 $\boldsymbol{\alpha}_s$ 不能由 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{s-1}$ 线性表示, 则向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 必线性无关.
$\text{C.}$ 若 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 线性无关, 则 $\left(\begin{array}{l}\boldsymbol{\alpha}_1 \\ \boldsymbol{\alpha}_s\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}\boldsymbol{\alpha}_2 \\ \boldsymbol{\alpha}_s\end{array}\right), \cdots,\left(\begin{array}{c}\boldsymbol{\alpha}_{s-1} \\ \boldsymbol{\alpha}_s\end{array}\right)$ 必线性无关.
$\text{D.}$ 若 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 线性无关, 则 $\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{s-1}+\boldsymbol{\alpha}_s, \boldsymbol{\alpha}_s+\boldsymbol{\alpha}_1$ 必线性无关.
设向量组 $a_1=(1,-t, 3,0)^T, a_2=(0,2,-t, 2)^T, a_3=(-1,4,-3,0)^T$, 若 $a_1, a_2, a_3$ 线性相关,则 $t=$
$\text{A.}$ -4
$\text{B.}$ 4
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ -2
以下结论正确的是
$\text{A.}$ 对向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n$, 如果 $k_1 \boldsymbol{\alpha}_1+k_2 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+k_n \boldsymbol{\alpha}_n=\mathbf{0}$, 就必有 $k_1=k_2=\cdots=k_n=0$, 则称向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 线性无关;
$\text{B.}$ 如果有一组不全为零的数 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n$, 使得 $\lambda_1 \boldsymbol{\alpha}_1+\lambda_2 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+\lambda_n \boldsymbol{\alpha}_n \neq \boldsymbol{0}$ 成立, 则向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n$ 线性无关;
$\text{C.}$ 若向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n$ 线性相关, 则其中每一个向量都能被其余向量线性表示;
$\text{D.}$ 若 $k_1=k_2=\cdots=k_n=0$, 使 $k_1 \boldsymbol{\alpha}_1+k_2 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+k_n \boldsymbol{\alpha}_n=\mathbf{0}$, 则向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n$ 线性无关.
下列结论中错误的是
$\text{A.}$ $n+1$ 个 $n$ 维向量一定线性概关;
$\text{B.}$ $n$ 个 $n+1$ 维向量一定线性相关;
$\text{C.}$ 若 $n$ 个 $n$ 维列向量 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n$ 线性相关, 则 $\left|\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n\right|=0$;
$\text{D.}$ 若 $n$ 个 $n$ 维列向量满足 $\left|\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n\right|=0$, 则 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n$ 线性相关.
设 $\boldsymbol{A}$ 为 $m \times n$ 矩阵, 齐次方程组 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 仅有零解的充要条件是.
$\text{A.}$ $A$ 的列向量组线性无关
$\text{B.}$ $\boldsymbol{A}$ 的列向量组线性相关
$\text{C.}$ $\boldsymbol{A}$ 的行向量组线性无关
$\text{D.}$ $\boldsymbol{A}$ 的行向量组相关
设向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 为 $n(n \geqslant 3)$ 维列向量, 关于向量组 (I) $k \boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2, k \boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3, k \boldsymbol{\alpha}_3+\boldsymbol{\alpha}_1$ 和 (II) $-k \boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2,-\boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3, k \boldsymbol{\alpha}_3+\boldsymbol{\alpha}_1$, 则下列结论正确的是
$\text{A.}$ 向量组 (I) 必线性无关
$\text{B.}$ 向量组 (II) 必线性无关
$\text{C.}$ 若向量组 (I) 线性无关,则向量组 (II)也线性无关
$\text{D.}$ 若向量组 (II) 线性无关, 则向量组 (I) 也线性无关
设 $\boldsymbol{A}_i,(i=1,2)$ 均为 $n$ 阶对称阵, 且 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cc}\boldsymbol{A}_1 & \boldsymbol{E} \\ \boldsymbol{E} & \boldsymbol{A}_2\end{array}\right)$ 为正定矩阵, 则下列说法不正确的是
$\text{A.}$ $\boldsymbol{A}_1$ 正定
$\text{B.}$ $\boldsymbol{A}_2$ 正定
$\text{C.}$ $\boldsymbol{A}_2-\boldsymbol{A}_1^{-1}$ 正定
$\text{D.}$ $|\boldsymbol{A}|=\left|\boldsymbol{A}_2-\boldsymbol{A}_1^{-1}\right|$
设向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 为 $n(n \geqslant 3)$ 维列向量, 关于向量组 (I) $k \boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2, k \boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3, k \boldsymbol{\alpha}_3+\boldsymbol{\alpha}_1$ 和 (II) $-k \boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2,-\boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3, k \boldsymbol{\alpha}_3+\boldsymbol{\alpha}_1$, 则下列结论正确的是
$\text{A.}$ 向量组 (I) 必线性无关
$\text{B.}$ 向量组 (II) 必线性无关
$\text{C.}$ 若向量组 (I) 线性无关, 则向量组 (II) 也线性无关
$\text{D.}$ 若向量组 (II) 线性无关,则向量组 (I) 也线性无关
设向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关, $\beta_1$ 可由 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性表示, $\beta_2$ 不能 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 由线性表示, 则对于任意常数 $\mathrm{k}$ 必有
$\text{A.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \mathrm{k} \beta_1+\beta_2$ 线性无关
$\text{B.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \mathrm{k} \beta_1+\beta_2$ 线性相关
$\text{C.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \beta_1+k \beta_2$ 线性无关
$\text{D.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \beta_1+k \beta_2$ 线性相关
设向量组A: $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_{\mathrm{r}}$ 可由向量组B: $\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_{\mathrm{s}}$ 线性表示, 则
$\text{A.}$ 当 $r < s$ 时，B组必线性相关
$\text{B.}$ 当 $r>s$ 时，B组必线性相关
$\text{C.}$ 当 $r < s$ 时, A组必线性相关
$\text{D.}$ 当 $r>s$ 时, A组必线性相关
设 $\alpha_1=(1,-1,2,4)^{\mathrm{T}}, \alpha_2=(0,3,1,2)^{\mathrm{T}}, \alpha_3=(3,0,7,14)^{\mathrm{T}}, \alpha_4=(1,-2,2,0)^{\mathrm{T}}$ ， $\alpha_5=(2,1,5,10)^{\mathrm{T}}$, 则该向量组的最大无关组是
$\text{A.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$
$\text{B.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_4$
$\text{C.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_5$
$\text{D.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_4, \alpha_5$
向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_r$ 线性无关的充分必要条件是
$\text{A.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_{\mathrm{r}}$ 均不为零向量
$\text{B.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_{\mathrm{r}}$ 中有一部分向量组线性无关
$\text{C.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_{\mathrm{r}}$ 中任意两个向量的分量不对应成比例
$\text{D.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_{\mathrm{r}}$ 中任意一个向量都不能由其余 $r-1$ 个向量线性表示
下列命题中错误的是
$\text{A.}$ 含有零向量的向量组是线性相关的;
$\text{B.}$ 由 3 个 2 维向量组成的向量组是线性相关的;
$\text{C.}$ 由单个非零向量组成的向量组是线性相关的:
$\text{D.}$ 两个成比例的向量组成的向量组是线性相关的。
二、判断题 （共 1 题，每小题 5 分，共 20 分）
设 $A$ 是 $n$ 阶实对称阵, 则 $A$ 为半正定矩阵的充要必要条件是 $A$ 的所有主子式都不小于零.
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
三、填空题 （共 4 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
设 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{rrr}1 & 2 & -2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 3 & 0 & 4\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}=\left(\begin{array}{l}a \\ 1 \\ 1\end{array}\right), \boldsymbol{A} \alpha, \boldsymbol{\alpha}$ 线性相关, 则 $a=$
设 $\boldsymbol{A}$ 是 $5 \times 4$ 矩阵, $\boldsymbol{A}$ 的秩为 2 , 则齐次线性方程组 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的一个基础解系中含有解的个数为
设三阶矩阵 $\mathrm{A}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & -2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 3 & 0 & 4\end{array}\right)$, 三维列向量 $\alpha=(\mathrm{a}, 1,1)^{\mathrm{T}}$ 已知 $\mathrm{A} \alpha$ 与 $\alpha$ 线性相关, 则 $\mathrm{a}=$
已知向量组 $\alpha_1=(1,2,3,4)^{\mathrm{T}}, \alpha_2=(2,3,4,5)^{\mathrm{T}}, \alpha_3=(3,4,5,6)^{\mathrm{T}}, \alpha_4=(4,5,6,7)^{\mathrm{T}}$, 则该向量组的秩是
四、解答题 （ 共 12 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 为两两正交的单位向量, 又 $\boldsymbol{\beta} \neq \mathbf{0}$ 且 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\beta}$ 线性相关,令 $\boldsymbol{A}=\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3\right)\left(\begin{array}{l}\boldsymbol{\alpha}_1^{\mathrm{T}} \\ \boldsymbol{\alpha}_2^{\mathrm{T}} \\ \boldsymbol{\alpha}_3^{\mathrm{T}}\end{array}\right)$.
(I) 证明: $\boldsymbol{\beta}$ 可由 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 唯一线性表示;
(II) 验证 $\boldsymbol{\beta}$ 为矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量, 并求相应的特征值.
设 $\mathrm{n}$ 维列向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$ 线性相关， $A$ 为 $\mathrm{n}$ 阶方阵，证明: 向量组 $A \alpha_1, A \alpha_2, \cdots, A \alpha_s$ 线性相关。
设 $\alpha_1=\left[\begin{array}{c}1+\lambda \\ 1 \\ 1\end{array}\right], \alpha_2=\left[\begin{array}{c}1 \\ 1+\lambda \\ 1\end{array}\right], \quad \alpha_3=\left[\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ 1+\lambda\end{array}\right], \quad \beta=\left[\begin{array}{c}0 \\ \lambda \\ \lambda^2\end{array}\right]$ ，问 $\lambda$ 取何值时，
(1) $\beta$ 可由 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性表示，且表达式唯一?
(2) $\beta$ 可由 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性表示，且表达式不唯一?
(3) $\beta$ 不能由 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性表示?
已知向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s(s \geq 2)$ 线性无关，设
$$
\begin{aligned}
& \beta_1=\alpha_1+\alpha_2, \beta_2=\alpha_2+\alpha_3, \cdots, \\
& \beta_{s-1}=\alpha_{s-1}+\alpha_s, \beta_s=\alpha_s+\alpha_1
\end{aligned}
$$
讨论向量组 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_s$ 的线性相关性.
设 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{E}-\boldsymbol{\xi} \boldsymbol{\xi}^T$ ，其中 $\boldsymbol{E}$ 是 $\boldsymbol{n}$ 阶单位矩阵， $\boldsymbol{\xi}$ 是 $n$ 维非零列向量， $\xi^T$ 是 $\xi$ 的转置，证明:
(1) $A^2=A$ 的充要条件是 $\xi^T \xi=1$ ；
(2) 当 $\xi^T \xi=1$ 时， $A$ 是不可逆矩阵.
已知 $A=\left(\begin{array}{ccccc}1 & 0 & 3 & 1 & 2 \\ -1 & 3 & 0 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & 7 & 2 & 5 \\ 4 & 2 & 14 & 0 & 6\end{array}\right)$, 试求(1) 将矩阵 $A$ 变为行最简形矩阵; (2) 求矩阵 $A$ 列向量组的一个最大无关组; (3) 将不属于最大无关组的向量用最大无关组表示。
给定向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1=(1,-1,0,4), \boldsymbol{\alpha}_2=(2,1,5,6), \boldsymbol{\alpha}_3=(1,-1,-2,0), \boldsymbol{\alpha}_4=(3,0,7, k)$.
(1)当 $k$ 为何值时, 向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4$ 线性相关?
(2)当向量组线性相关时, 求出最大无关组, 并用最大无关组线性表示向量组中其它向量. (10 分)
设有向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1=\left(\begin{array}{l}1 \\ 4 \\ 1 \\ 0\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_2=\left(\begin{array}{r}2 \\ 1 \\ -1 \\ -3\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_3=\left(\begin{array}{r}1 \\ 0 \\ -3 \\ -1\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_4=\left(\begin{array}{r}0 \\ 2 \\ -6 \\ 3\end{array}\right)$, 求向量组的秩和一个最大无关组, 并把其余向量用该最大无关组线性表示.
已知向量组 A: $\alpha_1=(2,1,0,1)^{\mathrm{T}}, \alpha_2=(0,1,2,2)^{\mathrm{T}}, \alpha_3=(-2,1,2,1)^{\mathrm{T}}, \alpha_4=(1,3,1,2)^{\mathrm{T}}$ 为 $\mathbb{R}^4$ 的一组基, 试求向量 $\beta=(1,1,1,1)^{\mathrm{T}}$ 在 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 下的坐标.
讨论下列向量组的线性相关性 $(3,-1,2,-1)^{\mathrm{T}}$
1. $\alpha_1=(1,0,1)^{\mathrm{T}}, \alpha_2=(\mathrm{x}, 0,1)^{\mathrm{T}}, \alpha_3=(0,1,1)^{\mathrm{T}}$
2. $\alpha_1=(1,1,3,1)^{\mathrm{T}}, \alpha_2=(4,1,-3,2)^{\mathrm{T}}, \alpha_3=(1,0,-1,2)^{\mathrm{T}}$
求下列矩阵的列向量组的秩及一个罖大无关组
$$
\mathrm{A}=\left(\begin{array}{rrrrr}
1 & 1 & 2 & 3 & 2 \\
-2 & -2 & -1 & 3 & -4 \\
-1 & -1 & 0 & 3 & -2 \\
0 & -3 & 2 & 3 & -3 \\
2 & 3 & 3 & 4 & 5
\end{array}\right)
$$
验证 $\alpha_1=(1,-1,0)^{\mathrm{T}}, \alpha_2=(2,1,3)^{\mathrm{T}}, \alpha_3=(3,1,2)^{\mathrm{T}}$ 为 $\mathbb{R}^3$ 的一个基, 并求 ${ }^\alpha=(1,1,1)^{\mathrm{T}}$ 在这组基下的坐标.