已知向量组 A: $\alpha_1=(2,1,0,1)^{\mathrm{T}}, \alpha_2=(0,1,2,2)^{\mathrm{T}}, \alpha_3=(-2,1,2,1)^{\mathrm{T}}, \alpha_4=(1,3,1,2)^{\mathrm{T}}$ 为 $\mathbb{R}^4$ 的一组基, 试求向量 $\beta=(1,1,1,1)^{\mathrm{T}}$ 在 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 下的坐标.