单选题 （共 4 题 ），每题只有一个选项正确
设 $u=2 x y-z^2$ ，则 $u$ 在点 $(2,-1,1)$ 处的方向导数的最大值是（ ）．
$\text{A.}$ $2 \sqrt{6}$
$\text{B.}$ 4
$\text{C.}$ $4 \sqrt{6}$
$\text{D.}$ $\{-2,4,-2\}$
已知 $| A |=\left|\begin{array}{cccc}a_1 & a_2 & a_3 & a_4 \\ 2 & 2 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 1 & 2 & 2\end{array}\right|=9$ ，则代数余子式 $A_{21}+A_{22}=$
$\text{A.}$ 3 ．
$\text{B.}$ 6 ．
$\text{C.}$ 9 ．
$\text{D.}$ 12 ．
设 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵，则下列 4 个命题
（1）若 $r( A )=m$ ，则非齐次线性方程组 $A x = b$ 必有解；
（2）若 $r( A )=m$ ，则齐次线性方程组 $A x = 0$ 只有零解；
（3）若 $r( A )=n$ ，则非齐次线性方程组 $A x = b$ 有唯一解；
（4）若 $r( A )=n$ ，则齐次线性方程组 $A x = 0$ 只有零解中正确的是
$\text{A.}$ （1）（3）．
$\text{B.}$ （1）（4）．
$\text{C.}$ （2）（3）．
$\text{D.}$ （2）（4）．
设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，对于齐次线性方程组（I） $A ^n x = 0$ 和（II） $A ^{n+1} x = 0$ ，则必有
$\text{A.}$ （II）的解是（I）的解，（I）的解也是（II）的解。
$\text{B.}$ （ I ）的解是（ II ）的解，但（ II）的解不是（ I ）的解。
$\text{C.}$ （II）的解是（I）的解，但（I）的解不是（II）的解。
$\text{D.}$ （ I ）的解不是（ II ）的解，（ II ）的解也不是（ I ）的解。
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知 $A$ 是 3 阶矩阵， $A$ 是 $A$ 的伴随矩阵，如果矩阵 $A$ 的特征值是 $1,2,3$ ，那么矩阵（ $A ^*$ ）＊的最大特征值是 $\qquad$ ．
已知 $A ^2=\left(\begin{array}{lll}2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 4\end{array}\right), A ^5=\left(\begin{array}{ccc}8 & 5 & 0 \\ 5 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & -32\end{array}\right)$ ，那么矩阵 $A =$ $\qquad$ .
设 $\alpha _1=(1,2,0)^{ T }, \alpha _2=(1, a+2,-3 a)^{ T }, \alpha _3=(-1,-b-2, a+2 b)^{ T }$ ， $\beta =(1,3,-3)^{ T } . a, b$ 为何值时：
（1） $\beta$ 不能由 $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3$ 线性表示；
（2） $\beta$ 可以由 $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3$ 唯一线性表示，并求出表示式；
（3） $\beta$ 可以由 $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3$ 线性表示，但表示不唯一，并求出表示式．
设 $n$ 阶矩阵 $A$ 为实对称矩阵，则下列结论正确的个数是 $\qquad$个．
（1）不同特征值对应的特征向量是正交的．
（2）所有特征值都是实数，所有特征向量都是实特征向量．
（3）必可相似对角化．
（4）若 $\lambda$ 是矩阵 $A$ 的 $k$ 重特征值，则秩 $r( A -\lambda E )=n-k$ ．
（5）矩阵 $A$ 的非零特征值个数等于矩阵 $A$ 的秩．
（6）矩阵 $A$ 的非零特征值个数小于等于 $r( A )$ 。
（7）若矩阵 $A$ 可相似对角化，则矩阵 $A$ 的非零特征值个数等于 $r( A )$ ．
设矩阵 $A =\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & -1 \\ -1 & a & 1 \\ -1 & 1 & a\end{array}\right), B =\left(\begin{array}{ccc}2 & 1 & -a-1 \\ 2 & a & -2\end{array}\right)$ ．当 $a$ 为何值时，方程 $X A = B$无解、有唯一解、有无穷多解？在有无穷多解时，求此方程．
解答题 （共 15 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $f(x)=\left( e ^{x^2}-1\right) x^{-2}$ ．
（1）求 $\int f(x) d x$ ；
（2）将 $f^{\prime}(x)$ 展开为麦克劳林级数，并求 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{(n+1)!}$ 的和值．
设函数 $u(x)=\frac{1}{x^2-3 x-4}$ ．
（1）将 $u(x)$ 展开为 $x-1$ 的幂级数；
（2）判断级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{u^{(n)}(1)}{n!}$ 的敛散性．
设一企业生产某产品的需求量 $Q$ 对价格 $P$ 的弹性 $\eta=2 P^2$ ，而市场对该产品的最大需求量为 1 （万件），该产品的生产成本为 $\frac{1}{2} Q+1$ ．
（1）求需求函数．
（2）当 $P \rightarrow+\infty$ 时需求量是否趋于稳定？
（3）设该产品的产量等于需求量，求企业获得最大利润时的需求量．
（1）设 $\Sigma$ 为上半球面 $x^2+y^2+z^2=1(z \geqslant 0)$ 的上侧，连续函数 $f(x, y)=2 x y^2+x^2+\iint_{\Sigma} x^3 d y d z+y^3 d z d x+\left[z f(x, y)+z^3+1\right] d x d y$ ，求 $f(x, y)$ 。
（2）已知点 $A(1,0,0)$ 与点 $B(1,1,1), \Sigma$ 是由 $A B$ 绕 $O z$ 轴旋转一周而成的旋转曲面介于平面 $z=0$ 与 $z=1$ 之间部分的外侧，函数 $f(u)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内具有连续导数，计算
$$
I=\iint_{\Sigma}[x f(x y)-2 x] d y d z+\left[y^2-y f(x y)\right] d z d x+(z+1)^2 d x d y .
$$
（1）设 $f(x)$ 具有连续的一阶导数，分别求满足下列各条件的函数 $f(x)$ ．
（I）矢量函数 $A =\left[x e ^x+f(x)\right] y i +f(x) j$ 是某个单值函数 $u(x, y)$ 的梯度，且 $f(0)=0$ ．
（II）设 $l$ 为与直线 $y= \pm x$ 不相交的任意闭曲线，且 $f(1)=0$ ，
$$
\oint_l\left[2 y-y f\left(x^2-y^2\right)\right] d x+x f\left(x^2-y^2\right) d y=0
$$
（III）设 $l$ 为 $x>0$ 的右半平面内从点 $A$ 到点 $B$ 的一条分段光滑曲线，且 $I= \int_l \frac{f(y) d x+2 x y d y}{2 x^2+y^4}$ 与路径无关．
设 $f(x), g(x)$ 具有二阶连续导数，$\oint_C\left[y^2 f(x)+2 y e ^x+2 y g(x)\right] d x+2[y g(x)+ f(x)] d y=0$ ，其中 $C$ 为平面上任一简单封闭曲线．
（I）求 $f(x), g(x)$ ，使 $f(0)=g(0)=0$ ；
（II）计算沿任一条曲线从点 $(0,0)$ 到点 $(1,1)$ 的积分．
（1）向量场 $u (x, y, z)=\left\{x y^2, y e ^z, x \ln \left(1+z^2\right)\right\}$ 在点 $(1,1,0)$ 处的散度 $\operatorname{div} u =$ $\qquad$ ， rot $u=$ $\qquad$ ．
（2）设 $\Omega$ 由 $0 \leqslant z \leqslant 1-\sqrt{x^2+y^2}$ 所确定，则其形心坐标是 $\qquad$ ．
（3）密度为 1 的旋转抛物体：$x^2+y^2 \leqslant z \leqslant 1$（记为 $\Omega$ ）绕 $z$ 轴的转动惯量 $I=$ $\qquad$ ．
（4）二元函数 $f(x, y)= e ^x \sin y$ 在原点 $(0,0)$ 处的一阶泰勒公式为 $\qquad$ ．
设 $A =\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & a \\ 1 & a & 0\end{array}\right), B$ 是 3 阶非零矩阵，满足 $B A = O$ ，则矩阵 $B =$ $\qquad$ ．
设 $A , B$ 是 $3 \times 4$ 矩阵， $A x = 0$ 有基础解系 $\xi _1, \xi _2, \xi _3, B x = 0$ 有基础解系 $\eta _1, \eta _2$ ．
（1）证明 $A x = 0$ 和 $B x = 0$ 有非零公共解；
（2）若 $\xi _1=\left(\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ 2 \\ 4\end{array}\right), \xi _2=\left(\begin{array}{l}0 \\ 3 \\ 1 \\ 2\end{array}\right), \xi _3=\left(\begin{array}{c}1 \\ -2 \\ 2 \\ 0\end{array}\right), \eta _1=\left(\begin{array}{l}3 \\ 0 \\ 7 \\ 14\end{array}\right), \eta _2=\left(\begin{array}{c}2 \\ 1 \\ 5 \\ 10\end{array}\right)$ ，求 $A x = 0$ 和 $B x = 0$ 的非零公共解．
设 $n$ 阶矩阵 $A =\left( \alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _n\right)$ ，若 $\alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _{n-1}$ 线性相关， $\alpha _2$ ， $\alpha _3, \cdots, \alpha _n$ 线性无关，令向量 $\beta = \alpha _1+ \alpha _2+\cdots+ \alpha _n$ ．证明：
（1）方程组 $A x = \beta$ 有无穷多解．
（2）如果 $\left(k_1, k_2, \cdots, k_n\right)^{ T }$ 是 $A x = \beta$ 的解，则必有 $k_n=1$ ．
设 $A =\left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right), B =\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & -6 & 2\end{array}\right)$ ，试判定 $A , B$ 是否相似．若相似，求可逆矩阵 $P$ ，使 $P ^{-1} A P = B$ 。
下列结论正确的个数是 $\qquad$个．
（1）$n$ 阶方阵 $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量是 $A$ 可相似对角化的充要条件．
（2）$\lambda$ 是方阵 $A$ 的 $m$ 重特征值且 $m=n-r( A -\lambda E )$ 是 $A$ 可相似对角化的充要条件．
（3）若 $n$ 阶方阵 $A$ 有 $n$ 个不同的特征值，则 $A$ 可相似对角化．
（4）若方阵 $A$ 是实对称矩阵，则 $A$ 可相似对角化．
（5）若方阵 $A$ 的秩为 1 且 $\operatorname{tr}( A ) \neq 0$ ，则 $A$ 可相似对角化．
（6）若 $n$ 阶方阵 $A$ 可相似对角化，则 $A$ 的多项式 $f( A )$ 也可相似对角化．
（7）若 $n$ 阶方阵 $A$ 可相似对角化，则 $A ^T$ 也可相似对角化．
（8）若 $n$ 阶方阵 $A$ 可相似对角化且 $A$ 可逆，则 $A ^{-1}, A ^*, A ^{-1}+ A ^*$ 也可以相似对角化．
（9）初等矩阵必可相似对角化．
设 $A$ 为 3 阶矩阵，满足 $A B =-2 B , C A ^{ T }=2 C$ ，其中
$$
B =\left(\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 3 \\
-1 & 1 & 0 \\
2 & -1 & 1
\end{array}\right), C =\left(\begin{array}{ccc}
1 & -2 & 1 \\
-2 & 4 & -2 \\
-1 & 2 & -1
\end{array}\right)
$$
求矩阵 $A$ ．
已知 $A$ 是 3 阶矩阵， $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3$ 是线性无关的 3 维列向量，满足
$$
A \alpha _1=- \alpha _1-3 \alpha _2-3 \alpha _3, A \alpha _2=4 \alpha _1+4 \alpha _2+ \alpha _3, A \alpha _3=-2 \alpha _1+3 \alpha _3 .
$$
（1）求矩阵 $A$ 的特征值；
（2）求矩阵 $A$ 的特征向量；
（3）求矩阵 $A ^*-6 E$ 的秩．
设 $A =\left(\begin{array}{ccc}13 & 16 & 16 \\ -5 & -7 & -6 \\ -6 & -8 & -7\end{array}\right)$ ，且 $B = P ^{-1} A P$ ．
（1）求矩阵 $A$ 的特征值与特征向量；
（2）当 $P =\left(\begin{array}{ccc}-4 & -3 & -2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 1\end{array}\right)$ 时，求矩阵 $B$ ；
（3）求 $A ^{100}$ ．
证明题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知 $n$ 阶矩阵 $A = \alpha \beta ^{ T }$ ，其中 $\alpha , \beta$ 为 $n$ 维非零列向量．
（1）证明：矩阵 $A$ 的秩 $r( A )=1$ ．
（2）证明：矩阵 $A$ 的迹 $\operatorname{tr}( A )= \alpha ^{ T } \beta = \beta ^{ T } \alpha$ ．
（3）证明： $A ^n=[\operatorname{tr}( A )]^{n-1} \cdot A$ ．
（4）证明： $A$ 的特征值为 $\lambda_1=\operatorname{tr}( A ), \lambda_2=\lambda_3=\cdots=\lambda_n=0$ ，且 $\lambda_1$ 的特征向量为 $\alpha$ ．
（5）证明：若 $\operatorname{tr}( A ) \neq 0$ ，则矩阵 $A$ 可相似对角化．
（6）若 $n$ 阶矩阵 $A$ 和 $B , r( A )=r( B )=1$ 且 $\operatorname{tr}( A )=\operatorname{tr}( B ) \neq 0$ ，证明： $A$ 与 $B$ 相似．