（1）设 $f(x)$ 具有连续的一阶导数，分别求满足下列各条件的函数 $f(x)$ ．
（I）矢量函数 $A =\left[x e ^x+f(x)\right] y i +f(x) j$ 是某个单值函数 $u(x, y)$ 的梯度，且 $f(0)=0$ ．
（II）设 $l$ 为与直线 $y= \pm x$ 不相交的任意闭曲线，且 $f(1)=0$ ，

$$
\oint_l\left[2 y-y f\left(x^2-y^2\right)\right] d x+x f\left(x^2-y^2\right) d y=0
$$

（III）设 $l$ 为 $x>0$ 的右半平面内从点 $A$ 到点 $B$ 的一条分段光滑曲线，且 $I= \int_l \frac{f(y) d x+2 x y d y}{2 x^2+y^4}$ 与路径无关．