已知 $n$ 阶矩阵 $A = \alpha \beta ^{ T }$ ，其中 $\alpha , \beta$ 为 $n$ 维非零列向量．
（1）证明：矩阵 $A$ 的秩 $r( A )=1$ ．
（2）证明：矩阵 $A$ 的迹 $\operatorname{tr}( A )= \alpha ^{ T } \beta = \beta ^{ T } \alpha$ ．
（3）证明： $A ^n=[\operatorname{tr}( A )]^{n-1} \cdot A$ ．
（4）证明： $A$ 的特征值为 $\lambda_1=\operatorname{tr}( A ), \lambda_2=\lambda_3=\cdots=\lambda_n=0$ ，且 $\lambda_1$ 的特征向量为 $\alpha$ ．
（5）证明：若 $\operatorname{tr}( A ) \neq 0$ ，则矩阵 $A$ 可相似对角化．
（6）若 $n$ 阶矩阵 $A$ 和 $B , r( A )=r( B )=1$ 且 $\operatorname{tr}( A )=\operatorname{tr}( B ) \neq 0$ ，证明： $A$ 与 $B$ 相似．