（1）设 $\Sigma$ 为上半球面 $x^2+y^2+z^2=1(z \geqslant 0)$ 的上侧，连续函数 $f(x, y)=2 x y^2+x^2+\iint_{\Sigma} x^3 d y d z+y^3 d z d x+\left[z f(x, y)+z^3+1\right] d x d y$ ，求 $f(x, y)$ 。
（2）已知点 $A(1,0,0)$ 与点 $B(1,1,1), \Sigma$ 是由 $A B$ 绕 $O z$ 轴旋转一周而成的旋转曲面介于平面 $z=0$ 与 $z=1$ 之间部分的外侧，函数 $f(u)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内具有连续导数，计算

$$
I=\iint_{\Sigma}[x f(x y)-2 x] d y d z+\left[y^2-y f(x y)\right] d z d x+(z+1)^2 d x d y .
$$