2022年10月北师大版高二数学期中考试

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2022年10月北师大版高二数学期中考试

一、单选题（共 8 题），每题只有一个选项正确

1. 倾斜角为

120^{\circ}

的直线经过点

(a + 1, 3)

和

(2 a - 2, 3 a)

, 则

a =

A.

- \sqrt{3}

B.

\sqrt{3}

C.

3

D.

- 3

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2. 椭圆

\frac{x^{2}}{5} + \frac{y^{2}}{9} = 1

上的一点到两个焦点的距离之和为

A.

2 \sqrt{5}

B.

C.

D.

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3. 双曲线

C : \frac{x^{2}}{36} - \frac{y^{2}}{13} = 1

上的点

P

到左焦点的距离为 10 , 则

P

到右焦点的距离为

A.

B.

C.

2 或 22

D.

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4. 圆

x^{2} + y^{2} - 4 x = 0

与圆

(x - a)^{2} + (y + 3)^{2} = 9

佮有两条公切线, 则

a

的取值范围是

A.

(- 2, 6)

B.

(- 4, 4)

C.

(- 5, 5)

D.

(- 6, 6)

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5. 已知直线

l : \sqrt{3} x + y - 2 = 0

, 则

A.

直线

l

的倾斜角为

\frac{5 π}{6}

B.

直线

l

的斜率为

\sqrt{3}

C.

直线

l

的一个法向車为

u = (1, \sqrt{3})

D.

直线

l

的一个方向向㞷为

v = (- \sqrt{3}, 3)

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6. 已知双曲线

C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)

的左、右焦点分别为

F_{1}, F_{2}, P

是右支上一点, 且

| P F_{1}

= 6 | P F_{2} |

, 则双曲线

C

的离心率的取值范围是

A.

(0, \frac{7}{5}]

B.

(1, \frac{4}{3}]

C.

(1, \frac{7}{5}]

D.

[\frac{7}{5}, + \infty)

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7. 如图, 已知双曲线

C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)

的左、右焦点分別为

F_{1}, F_{2}

, 点

M

与

C

的焦点不重合, 点

M

关于

F_{1}, F_{2}

的对称点分别为

A, B

, 线段

M N

的中点

Q

在

C

的右支上. 若

| A N | -

| B N | = 18

, 则

C

的实轴长为

A.

B.

C.

D.

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8. 台风中心从

M

地以每小时

30 km

的速度向西北方向移动, 离台风中心

30 \sqrt{3} km

内的地区为危险地区,城市

N

在

M

地正西方向

60 km

处, 则城市

N

处于危险区内的时长为

A.

1 h

B.

\sqrt{2} h

C.

2 h

D.

3 h

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二、多选题（共 4 题），每题有多个选项正确

9. 已知双曲线

C : \frac{y^{2}}{4} - \frac{x^{2}}{6} = 1

, 则

A.

双曲线

C

的焦点坐标为

(0, \pm 2)

B.

双曲线

C

的渐近线方程为

y = \pm \frac{\sqrt{6}}{3} x

C.

双曲线

C

的离心率为

\frac{\sqrt{10}}{2}

D.

双曲线

C

的虚轴长为 4

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10. 设直线

l : a x + (2 a + 3) y - 3 = 0

与

n : (a - 2) x + a y - 1 = 0

, 则

A.

当

a = - 2

时,

l / / n

B.

当

a = \frac{1}{3}

时,

l ⊥ n

C.

当

l / / n

时,

l, n

间的距离为

\frac{\sqrt{5}}{2}

D.

坐标原点到直线

n

的距离的最大值为

\frac{\sqrt{2}}{2}

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11. 若关于

x

的方程

x + \sqrt{1 - x^{2}} - b = 0

有唯一解, 则

b

的取值可能是

A.

\frac{1}{2}

B.

C.

- \sqrt{2}

D.

\sqrt{2}

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12. 历史上, 许多人研究过圆锥的截口曲线. 如图, 在圆锥中, 母线与旋转轴的夹角为

\frac{π}{6}

, 现有一截面与圆锥的一条母线垂直, 与旋转轴的交点

O

到圆锥硕点的距离为 4 , 关于所得截口曲线, 下列选项正确的是

A.

曲线形状为圆

B.

曲线形状为椭圆

C.

点

O

为该曲线上距离最长的两点确定的线段的三等分点

D.

该曲线上任意两点间的最长距离为 6

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三、填空题（共 4 题），请把答案直接填写在答题纸上

13. 古希腊数学家阿基米德早在 2200 多年前利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积. 已知椭圆

\frac{x^{2}}{28} + \frac{y^{2}}{7} = 1

, 则该椭圆的面积为

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14. 过双曲线

\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)

的左焦点作一条直线, 当直线的斜率为

- 1

时, 直线与双曲线的左、右两支各有一个交点, 当直线的斜率为

- \sqrt{3}

时, 直线与双曲线的左支有两个不同的交点, 则双曲线的离心率可以为

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15. 已知圆

C : (x + 3)^{2} + (y - 2)^{2} = 4

, 则直线

l : a x + y + 2 a - 1 = 0

被圆

C

截得的弦长的最小值为

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16. 一条沿直线传播的光线经过点

P (- 3, 7)

和

Q (- 2, 5)

, 然后被直线

y = x - 2

反射, 则人射点的坐标为（　　） , 反射光线所在直线在

y

轴上的截距为（　　）.

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四、解答题（共 6 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

17. 已知

△ A B C

的定点

A (3, - 4), A B

边上的中线所在直线的方程为

x - 2 y + 4 = 0, A C

边上的高所在直线的方程为

x - y + 2 = 0

.
(1)求

C

的坐标;
(2)求直线

B C

的方程.

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18. 曲线

C

上任意一点到点

M (- 3, 4)

的距离与到点

N (- 2, 1)

的距离之比为

\sqrt{2}

.
（1）试问曲线

C

为何种曲线, 说明你的理由;
(2) 过直线

l : x + y - 5 = 0

上一点

E

向曲线

C

作一条切线, 切点为

F

, 求

| E F |

的最小值.

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19. 已知圆心为

M

的圆经过

A (- 2, 6), B (6, 0), C (- 8, - 2)

这三个点.
(1) 求圆

M

的标准方程;
(2) 直线

l

过点

P (4, 6)

, 若直线

l

被圆

M

截得的弦长为 10 , 求直线

l

的方程.

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20. 已知椭圆

C_{:} \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)

的左、右焦点分别为

F_{1}, F_{2}

, 㐫心率为

\frac{\sqrt{3}}{3}

, 过点

F_{1}

的直线

l

交椭圆

C

于

A, B

两点,

A B

的中点坐标为

(- \frac{12}{7}, \frac{4}{7})

.
(1) 求椭圆

C

的标准方程;
(2) 求

△ A F_{2} B

的面积.

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21. 已知椭圆

C_{:} \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{a^{2} - 4} = 1 (a > 2)

过点

(\frac{5}{4}, \frac{9}{4}), F_{1}, F_{2}

分别为左、右焦点,

P

为第一象限内楉圆

C

上的动点, 直线

P F_{1}, P F_{2}

与直线

x = t (t > 0)

分別交于

A, B

两点, 记

△ P A B

和

△ P F_{1} F_{2}

的面积分别为

S_{1}, S_{2}

.
(1) 试确定实数

t

的值, 使得点

P

到

F_{2}

的距为与到直线

x = t

的距㝑之比为定值

k

, 并求出

k

的值;
(2) 在 (1)的条件下, 若

\frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{25}{9}

, 求

\frac{| P A | | P F_{1} |}{P B | P F_{2} |}

的值.

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22. 已知双曲线

C_{:} \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)

的左、右焦点分别为

F_{1}, F_{2}

, 实轴长为

2 \sqrt{3}

, 一条渐近线方程为

\sqrt{3} x - 3 y = 0

, 过

F_{2}

的直线

l

与双曲线

C

的右支交于

A, B

两点.
(1) 求双曲线

C

的方程;
(12 已知

P (- \sqrt{5}, 0)

若三角形ABP的外心

Q

的横坐标为0，请直线l的方程

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