【ID】2925 【题型】多选题 【类型】模拟考试 【来源】2022年10月北师大版高二数学期中考试
历史上, 许多人研究过圆锥的截口曲线. 如图, 在圆锥中, 母线与旋转轴的夹角为 $\frac{\pi}{6}$, 现有一 截面与圆锥的一条母线垂直, 与旋转轴的交点 $O$ 到圆锥硕点的距离为 4 , 关于所得截口曲线, 下列选项正确的是
$A.$ 曲线形状为圆 $B.$ 曲线形状为椭圆 $C.$ 点 $O$ 为该曲线上距离最长的两点确定的线段的三等分点 $D.$ 该曲线上任意两点间的最长距离为 6
答案:
BCD

解析:

结合圆锥, 可知该曲线的形状是椭圆, 故 $\mathrm{A}$ 不正确, $\mathrm{B}$ 正确; 作出椭圆长轴所在的轴截面的图形,如图所示, 因为 $\angle B M O=\frac{\pi}{6}, A B \perp M A,|O M|=4$,所以 $|O A|=\frac{1}{2}|O M|=2$, $\angle O M B=\angle O B M=\frac{\pi}{6}$, 所以 $|O B|=|O M|=4$, 所以 $\frac{|O A|}{|O B|}=\frac{1}{2}$. 因为椭圆上任意两点间的最 长距离即椭圆的长轴长 $|A B|$, 所以点 $O$ 为该曲线上距离最长的两点确定的线段的三等分点,故 C, D正确.

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