已知椭圆 $C_{:} \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2-4}=1(a>2)$ 过点 $\left(\frac{5}{4}, \frac{9}{4}\right), F_1, F_2$ 分别为左、右焦点, $P$ 为第一象限内 楉圆 $C$ 上的动点, 直线 $P F_1, P F_2$ 与直线 $x=t(t>0)$ 分別交于 $A, B$ 两点, 记 $\triangle P A B$ 和 $\triangle P F_1 F_2$ 的面积分别为 $S_1, S_2$.
(1) 试确定实数 $t$ 的值, 使得点 $P$ 到 $F_2$ 的距为与到直线 $x=t$ 的距㝑之比为定值 $k$, 并求出 $k$ 的值;
(2) 在 (1)的条件下, 若 $\frac{S_1}{S_2}=\frac{25}{9}$, 求 $\frac{|P A|\left|P F_1\right|}{P B\left|P F_2\right|}$ 的值.