题号:2934    题型:解答题    来源:2022年10月北师大版高二数学期中考试
已知椭圆 $C_{:} \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2-4}=1(a > 2)$ 过点 $\left(\frac{5}{4}, \frac{9}{4}\right), F_1, F_2$ 分别为左、右焦点, $P$ 为第一象限内 楉圆 $C$ 上的动点, 直线 $P F_1, P F_2$ 与直线 $x=t(t > 0)$ 分別交于 $A, B$ 两点, 记 $\triangle P A B$ 和 $\triangle P F_1 F_2$ 的面积分别为 $S_1, S_2$.
(1) 试确定实数 $t$ 的值, 使得点 $P$ 到 $F_2$ 的距为与到直线 $x=t$ 的距㝑之比为定值 $k$, 并求出 $k$ 的值;
(2) 在 (1)的条件下, 若 $\frac{S_1}{S_2}=\frac{25}{9}$, 求 $\frac{|P A|\left|P F_1\right|}{P B\left|P F_2\right|}$ 的值.
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答案:
解 : (1) 设椭圆 $C$ 的焦距为 $2 c(c > 0), c^2=a^2-\left(a^2-4\right)=4, c=2$,
则 $F_1(-2,0), F_2(2,0), 2 a=\sqrt{\left(\frac{5}{4}+2\right)^2+\left(\frac{9}{4}\right)^2}+\sqrt{\left(\frac{5}{4}-2\right)^2+\left(\frac{9}{4}\right)^2}=2 \sqrt{10}, a=\sqrt{10}$, 所以植圆 $C$ 的方稑为 $\frac{x^2}{10}+\frac{y^2}{6}=1$.
设 $P\left(x_0, y_0\right)\left(x_0, y_0 > 0\right)$, 则 $k^2=\frac{\left(x_0-2\right)^2+y_0^2}{\left(x_0-t\right)^2}=\frac{x_0^2-4 x_0+4+y^2}{x_0^2-2 t x_0+t^2}$, 因 为 $\frac{x_0^2}{10}+\frac{y_0^2}{6}=1$, 所以 $k^2=$ $\frac{\frac{2}{5} x_0^2-4 x_0+10}{x_0^2-2 t x_0+t^2}$, 因为$k$ 为定值,所以 $\frac{2}{5}=\frac{4}{2 t}=\frac{10}{t^2}$,解得 $t=5, k=\frac{\sqrt{10}}{5}$.

(2) 由 $F_1(-2,0), P\left(x_0, y_0\right)$, 得直线 $P F_1: y_0 x-\left(x_0+2\right) y+2 y_0=0$, 所以 $A\left(5, \frac{7 y_0}{x_0+2}\right)$,
同理得 $B\left(5, \frac{3 y_0}{x_0-2}\right),|A B|=\left|\frac{7 y_0}{x_0+2}-\frac{3 y_0}{x_0-2}\right|=\left|\frac{4 x_0 y_0-20 y_0}{x_0^2-4}\right|$, 5 分
所以 $\frac{S_1}{S_2}=\frac{\frac{1}{2}|A B|\left(5-x_0\right)}{2 y_0}=\frac{\left(5-x_0\right)^2}{\left|x_0^2-4\right|}=\frac{25}{9}$,
化简得 $16 x_0^2+90 x_0-325=0$ 或 $34 x_0^2-90 x_0+125=0$,
7 分
【方法一】(距离公式) 因为 $P\left(\frac{5}{2}, \frac{3}{2}\right), A\left(5, \frac{7}{3}\right), B(5,9),\left|P F_1\right|=\frac{3 \sqrt{10}}{2},\left|P F_2\right|=\frac{\sqrt{10}}{2},|P A|=\frac{5 \sqrt{10}}{6}$, $|P B|=\frac{5 \sqrt{10}}{2}$, 所以 $\frac{|P A|\left|P F_1\right|}{|P B|\left|P F_2\right|}=1$.
【方法二】(相似三角形)因为 $k_{P F_1} \cdot k_{F_2}=\frac{y_0}{x_0+2} \cdot \frac{y_0}{x_0-2}=\frac{y_0^2}{x_0^2-4}=1$, 所以 $\angle P F_1 F_2=\angle P B A$,
所以 $\triangle P B A \subset \triangle P F_1 F_2$, 所以 $\frac{|P A|\left|P F_1\right|}{|P B|\left|P F_2\right|}=1$.
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