题号:2933    题型:解答题    来源:2022年10月北师大版高二数学期中考试
已知椭圆 $C_{:} \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1, F_2$, 㐫心率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$, 过点 $F_1$ 的直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $A, B$ 两点, $A B$ 的中点坐标为 $\left(-\frac{12}{7}, \frac{4}{7}\right)$.
(1) 求椭圆 $C$ 的标准方程;
(2) 求 $\triangle A F_2 B$ 的面积.
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答案:
解: (1)因为离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}$, 所以 $a=\sqrt{3} c$.
因为 $a^2=b^2+c^2$, 所以 $b=\sqrt{2} c$,
所以椭圆 $C$ 的方程为 $2 x^2+3 y^2=6 c^2$.
所以 $\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=-\frac{2}{3} \times \frac{x_1+x_2}{y_1+y_2}$.
因为 $A B$ 的中点坐标为 $\left(-\frac{12}{7}, \frac{4}{7}\right)$, 所以 $\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=2$.
因为直线 $l$ 过点 $F_1(-c, 0)$, 所以 $\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=\frac{\frac{4}{7}}{c-\frac{12}{7}}=2$, 得 $c=2$,
从而 $a=2 \sqrt{3}, b=2 \sqrt{2}$, 故椭圆 $C$ 的标准方䅣为 $\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{8}=1$.
(2) 由 (1) 知直线 $l$ 的方程为 $y=2 x+4$,
联立方㻒组 $\left\{\begin{array}{l}y=2 x+4, \\ 2 x^2+3 y^2=24\end{array}\right.$, 得 $7 y^2-8 y-32=0$.
设 $A\left(x_1, y_1\right), B\left(x_2, y_2\right)$, 则 $y_1+y_2=\frac{8}{7}, y_1 y_2=-\frac{32}{7}$,
所以 $\left|y_1-y_2\right|=\sqrt{\left(y_1+y_2\right)^2-4 y_1 y_2}=\sqrt{\left(\frac{8}{7}\right)^2+\frac{4 \times 32}{7}}=\frac{8 \sqrt{15}}{7}$,
故 $S_{\triangle F_2 B}=\frac{1}{2}\left|F_1 F_2\right|\left|y_1-y_2\right|=\frac{16 \sqrt{15}}{7}$.

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