已知椭圆 $C_{:} \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1, F_2$, 㐫心率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$, 过点 $F_1$ 的直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $A, B$ 两点, $A B$ 的中点坐标为 $\left(-\frac{12}{7}, \frac{4}{7}\right)$.
(1) 求椭圆 $C$ 的标准方程;
(2) 求 $\triangle A F_2 B$ 的面积.
$\text{A.}$
$\text{B.}$
$\text{C.}$
$\text{D.}$