题号:2935    题型:解答题    来源:2022年10月北师大版高二数学期中考试
已知双曲线 $C_: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1, F_2$, 实轴长为 $2 \sqrt{3}$, 一条渐近线方程为 $\sqrt{3} x-3 y=0$, 过 $F_2$ 的直线 $l$ 与双曲线 $C$ 的右支交于 $A, B$ 两点.
(1) 求双曲线 $C$ 的方程;
(12 已知$P(-\sqrt{5},0)$ 若三角形ABP的外心$Q$的横坐标为0,请直线l的方程
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答案:
解: (1) 由题知 $\left\{\begin{array}{l}2 a=2 \sqrt{3} \\ \frac{b}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}\end{array}\right.$,
所以 $a^2=3, b^2=1$,
故双曲线 $C$ 的方程为 $\frac{x^2}{3}-y^2=1$.
(2) 由 (1) 知 $F_2(2,0)$.
当直线 $l$ 的斜率不存在时, 直线 $l$ 的方程为 $x=2$, 则 $A\left(2, \frac{\sqrt{3}}{3}\right), B\left(2,-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$.
因为 $\triangle A B P$ 为等腠三角形, 且 $\triangle A B P$ 外接圆的圆心 $Q$ 的横坐标为 0 , 所以 $Q(0,0)$. 因为 $|Q A|=\sqrt{4+\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt{39}}{3},|Q P|=\sqrt{5}$, 所以 $|Q A| \neq|Q P|$, 此时不符合韙意. 当直线 $l$ 斜率存在时, 设直线 $l$ 的方程为 $y=k(x-2)$,
联立方程组 $\left\{\begin{array}{l}y=k(x-2), \\ x^2-3 y^2=3,\end{array}\right.$, 得 $\left(3 k^2-1\right) x^2-12 k^2 x+12 k^2+3=0$,
设 $A\left(x_1, y_1\right), B\left(x_2, y_2\right)$, 则 $x_1+x_2=\frac{12 k^2}{3 k^2-1}, x_1 x_2=\frac{12 k^2+3}{3 k^2-1}$,
由 $\left\{\begin{array}{l}3 k^2-1 \neq 0, \\ 144 k^4-4\left(3 k^2-1\right)\left(12 k^2+3\right) > 0, \\ \frac{12 k^2}{3 k^2-1} > 0, \\ \frac{12 k^2+3}{3 k^2-1} > 0,\end{array}\right.$

解得 $k^2 > \frac{1}{3}$, 即 $k > \frac{\sqrt{3}}{3}$ 或 $k < -\frac{\sqrt{3}}{3}$.
因为 $y_1+y_2=k\left(x_1+x_2-4\right)=\frac{4 k}{3 k^2-1}$,
所以线段 $A B$ 的中点为 $M\left(\frac{6 k^2}{3 k^2-1}, \frac{2 k}{3 k^2-1}\right)$,
且 $|A B|=\sqrt{1+k^2} \times\left|x_1-x_2\right|=\sqrt{1+k^2} \times \sqrt{\left(\frac{12 k^2}{3 k^2-1}\right)^2-\frac{12\left(4 k^2+1\right)}{3 k^2-1}}=\frac{2 \sqrt{3}\left(k^2+1\right)}{3 k^2-1}$.
设 $Q\left(0, y_0\right)$, 因为 $Q$ 在线段 $A B$ 的垂直平分线上,所以 $\frac{y_0-\frac{2 k}{3 k^2-1}}{-\frac{6 k^2}{3 k^2-1}}=-\frac{1}{k}$,
得 $y_0=\frac{8 k}{3 k^2-1}$, 即 $Q\left(0, \frac{8 k}{3 k^2-1}\right)$, 故 $|Q P|^2=\left(\frac{8 k}{3 k^2-1}\right)^2+5$.
因为 $|Q A|^2=|Q M|^2+\frac{1}{4}|A B|^2$, 且 $|Q A|=|Q P|$,
所以 $\left(\frac{8 k}{3 k^2-1}\right)^2+5=\left(\frac{6 k^2}{3 k^2-1}\right)^2+\left(\frac{6 k}{3 k^2-1}\right)^2+\frac{3\left(k^2+1\right)^2}{\left(3 k^2-1\right)^2}$,
化简得 $3 k^4-4 k^2+1=0$,
得 $k=\pm 1\left(k=\pm \frac{\sqrt{3}}{3}\right.$ 舍去),
所以直线 $l$ 的方程为 $y=\pm(x-2)$,
即直线 $l$ 的方程为 $x-y-2=0$ 或 $x+y-2=0$.

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