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已知双曲线 $C_: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1, F_2$, 实轴长为 $2 \sqrt{3}$, 一条渐近线方程为 $\sqrt{3} x-3 y=0$, 过 $F_2$ 的直线 $l$ 与双曲线 $C$ 的右支交于 $A, B$ 两点.
(1) 求双曲线 $C$ 的方程;
(12 已知$P(-\sqrt{5},0)$ 若三角形ABP的外心$Q$的横坐标为0，请直线l的方程
                        
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