题号:2919    题型:单选题    来源:2022年10月北师大版高二数学期中考试
已知双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1, F_2, P$ 是右支上一点, 且 $|P F_1$ | $=6\left|P F_2\right|$, 则双曲线 $C$ 的离心率的取值范围是
$A.$ $\left(0, \frac{7}{5}\right]$ $B.$ $\left(1, \frac{4}{3}\right]$ $C.$ $\left(1, \frac{7}{5}\right]$ $D.$ $\left[\frac{7}{5},+\infty\right)$
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答案:
C

解析:

因为 $\left|P F_1\right|=6\left|P F_2\right|$, 所以 $\left|P F_1\right|-\left|P F_2\right|=5\left|P F_2\right|=2 a$. 因为 $\left|P F_2\right| \geqslant c-a$, 所以 $5(c-a) \leqslant 2 a$, 所以缡 心率 $e=\frac{c}{a} \leq \frac{7}{5}$. 因为曲线的离心率大于 1 , 所以 $e \in\left(1, \frac{7}{5}\right]$.
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