题号:2932    题型:解答题    来源:2022年10月北师大版高二数学期中考试
已知圆心为 $M$ 的圆经过 $A(-2,6), B(6,0), C(-8,-2)$ 这三个点.
(1) 求圆 $M$ 的标准方程;
(2) 直线 $l$ 过点 $P(4,6)$, 若直线 $l$ 被圆 $M$ 截得的弦长为 10 , 求直线 $l$ 的方程.
0 条评论 分享 0 人点赞 收藏 ​ ​ 4 次查看 我来讲解
答案:
解: (1)因为直线 $A B$ 的鈄率 $k_{A B}=\frac{6-0}{-2-6}=-\frac{3}{4}$,
直线 $A C$ 的斜率 $k_A=\frac{6-(-2)}{-2-(-8)}=\frac{4}{3}$,
所以 $k_{\text {AB }} \cdot k_{A C}=-1$, 所以直线 $\mathrm{AB}$ 与直线 $\mathrm{AC}$ 垂直,
所以圆 $M$ 的圆心 $M$ 为边 $B C$ 的中点, 即 $M(-1,-1)$.
因为半径 $r=|M B|=\sqrt{(6+1)^2+(0+1)^2}=5 \sqrt{2}$,
所以圆 $M$ 的标准方䅣为 $(x+1)^2+(y+1)^2=50$. .
(2) 当直线 $l$ 的斜率不存在时, 直线 $l$ 的方䅣为 $x=4$,
在圆 $M$ 的方䅣中, 代人 $x=4$, 得 $y=4$ 或 $y=-6$, 此时弦长为 10 , 符合題意;
当直线 $l$ 的斜率存在时, 设直线 $l$ 的方程为 $y-6=k(x-4)$, 即 $k x-y-4 k+6=0$.
因为直线 $l$ 被圆 $M$ 载得的弦长为 10 , 圆 $M$ 的半径为 $5 \sqrt{2}$,
所以圆心 $M$ 到直线 $l$ 的距离为 5 .
由 $\frac{|-k+1-4 k+6|}{\sqrt{1+k^2}}=5$, 解得 $k=\frac{12}{35}$,
所以直线 $l$ 的方䅣为 $12 x-35 y+162=0$.
综上所述, 所求直线 $l$ 的方䅣为 $x=4$ 或 $12 x-35 y+162=0$.
①因本站题量较多,无法仔细核对每一个试题,如果试题有误,请点击 编辑进行更正。
②如果您有更好的解答,可以点击 我要评论进行评论。
③如果您想挑战您的朋友,点击 我要分享 下载题目图片发给好友。

关闭