题号:2924    题型:多选题    来源:2022年10月北师大版高二数学期中考试
若关于 $x$ 的方程 $x+\sqrt{1-x^2}-b=0$ 有唯一解, 则 $b$ 的取值可能是
$A.$ $\frac{1}{2}$ $B.$ 1 $C.$ $-\sqrt{2}$ $D.$ $\sqrt{2}$
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答案:
AD

解析:

由题恚可知关于 $x$ 的方程 $\sqrt{1-x^2}=-x+b$ 有唯一解,即曲线 $y=\sqrt{1-x^2}$ (以原点为圆心的单位圆 的上半部分)与直线 $y=-x+b$ 有唯一公共点. 当直线 $y=-x+b$ 经过点 $(1,0)$ 时, $b=1$; 当直线 $y=-x+b$ 经过点 $(-1,0)$ 时, $b=-1$; 若直线 $y=-x+b$ 与曲线 $y=\sqrt{1-x^2}$ 相切, 则 $\frac{|b|}{\sqrt{2}}=1$, 得 $b=\sqrt{2}$, 数形结合可知, $b$ 的取值范围是 $[-1,1) \cup\{\sqrt{2}\}$.

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