2022年9月考研数学 (一二三) 第一次模拟试题

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2022年9月考研数学 (一二三) 第一次模拟试题

一、单选题（共 8 题），每题只有一个选项正确

1. 当

x \to + \infty

时,

f (x) = (x^{3} - x^{2} + \frac{1}{2} x) e^{\frac{1}{x}} - \sqrt{x^{6} + 1} - \frac{1}{6}

是

g (x) = α x^{β}

等价无穷小, 则

α, β =

A.

α = \frac{1}{2}, β = - 1

B.

α = \frac{1}{8}, β = - 1

C.

α = \frac{1}{8}, β = - 2

D.

α = \frac{1}{2}, β = - 2

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2. 设

g (t)

是正值连续函数, 且

f (x) = \int_{- a}^{a} | x - t | g (t) d t, a > 0, x \in [- a, a]

, 关于曲线

y = f (x)

, 下列说法正确的是

A.

在

[- a, 0]

上是凹的, 在

[0, a]

上是凸的

B.

在

[- a, 0]

上是凸的, 在

[0, a]

上是凹的.

C.

在

[- a, a]

上是凹的.

D.

在

[- a, a]

上是凸的.

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3. 设

y = f (x)

是微分方程

y^{''} - 2 y^{'} + 4 y = - e^{\sin x}

的一个解, 若

f (x_{0}) > 0, f^{'} (x_{0}) = 0

, 则函数

f (x)

在点

x_{0}

A.

取得极大值

B.

某邻域内单调增加.

C.

某邻域内单调减少.

D.

取得极小值

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4. 设正项级数

\sum_{n = 1}^{\infty} \ln (1 + a_{n})

收敛, 则级数

\sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n} \sqrt{a_{n} a_{n + 1}}

的敛散性为

A.

条件收敛

B.

绝对收敛

C.

发散

D.

无法判断

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5. 设有齐次线性方程组

A x = 0

和

B x = 0

, 其中

A, B

均为

m \times n

矩阵, 下列有四个命题:
(1) 若

A x = 0

的解均是

B x = 0

的解, 则

r (A) \geq r (B)

;
(2) 若

r (A) \geq r (B)

, 则

A x = 0

的解均是

B x = 0

的解;
(3)若

A x = 0

与

B x = 0

同解, 则

r (A) = r (B)

;
(4)若

r (A) = r (B)

, 则

A x = 0

与

B x = 0

同解.
以上命题中正确的是

A.

(1) (2)

B.

(3) (4)

C.

(2) (4)

D.

(1) (3)

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6. 设

A, P

均为 3 阶方阵,

P^{T}

为

P

的转置矩阵, 且

P^{T} A P = [\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array}]

, 若

P =

(α_{1}, α_{2}, α_{3}), Q (α_{1} + α_{2}, α_{2}, α_{3})

, 则

Q^{T} A Q

为

A.

[\begin{array}{lll} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array}]

B.

[\begin{array}{lll} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array}]

C.

[\begin{array}{lll} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array}]

D.

[\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array}]

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7. 某工厂急需 12 只集成电路装配仪表, 现要到外地采购, 已知该型号集成电路的不合格品率为

0.1

, 问需要采购几只才能以

99 %

的把握保证其中合格的集成电路不少于有 12 只?

A.

B.

C.

D.

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8. 设随机事件

A, B, C

两两相互独立且满足条件

P (A B C) = 0, P (A) = P (B) = P (C) <

\frac{1}{2}, P (A \cup B \cup C) = \frac{9}{16}

, 则

P (A)

A.

\frac{3}{4}

B.

\frac{3}{8}

C.

\frac{1}{6}

D.

\frac{1}{4}

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二、填空题（共 6 题），请把答案直接填写在答题纸上

9. 求椭圆

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1

在第一象限中的切线（　　）, 使它被两坐标轴所截的线段最短.

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10. 设

a_{n} = \int_{0}^{n π} x | \sin x | d x

, 求级数

\sum_{n = 1}^{\infty} (\frac{1}{\sqrt{a_{n}}} - \frac{1}{\sqrt{a_{n + 1}}})

的和

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11. 计算三重积分

∭_{Ω} z \cos (x^{2} + y^{2}) d x d y d z =

（　　）, 其中

Ω

为

x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq R^{2}, z \geq

0, R > 0

且

x, y, z \in R

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12. 计算广义积分

\int_{- \infty}^{+ \infty} \frac{1}{(1 + | x |) \sqrt{| x (1 - x) |}} d x =

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13. 设

A

是三阶方阵,

I

是三阶单位矩阵, 且

| A + I | = 0, | A + 2 I | = 0, | A + 3 I | = 0

, 则

| A + 4 I | =

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14. 设随机变量

X \sim N (μ, σ^{2})

, 且

P (X < - 1) = P (X \geq 3) = Φ (- 1)

, 其中

Φ (x)

为标准正态分布函数, 则

μ =

（　　） ,

σ =

（　　）

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三、解答题（共 9 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

15. 设函数

f (x)

具有连续的导数, 且

f (1) = 0, f^{'} (1) = 2

, 求

lim_{x \to 0} \frac{f (\sin^{2} x + \cos x)}{e^{x^{2}} - \cos x}

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16. 设函数

z = (x^{2} + y^{2}) f (x^{2} + y^{2})

满足

\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}} = 0

, 且

f (1) = 0, f^{'} (1) = 1

, 若

f (x)

在

[1, + \infty)

上有连续二阶导数, 求

f (x)

在

[1, + \infty)

的最大值.

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17. 设某

A

从

O x y

平面的原点出发, 沿

x

轴正方向前进; 同时某

B

从点

(0, b)

开始追踪

A

, 即

B

的运动方向永远指向

A

并与

A

保持等距

b

, 试求

B

的光滑运动轨迹.

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18. 计算曲面积分

∭ \int_{D} \sqrt{\frac{1 - x^{2} - y^{2} - z^{2} - w^{2}}{1 + x^{2} + y^{2} + z^{2} + w^{2}}} d x d y d z d w

其中

D

为

x^{2} + y^{2} + z^{2} + w^{2} \leq 1, x, y, z, w \geq 0

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19. 设

x \in [- 1, 1]

, 对

\forall n \in N

有

a_{n} = \frac{1}{3 n + 4} - \frac{3}{3 n + 2} + \frac{2}{3 n + 1}

,

试证:
(1)

f (x) = \int_{0}^{1} \frac{t^{3} - 3 t + 2}{1 - x^{3} t^{3}} d t = \sum_{n = 0}^{+ \infty} a_{n} x^{3 n}

;
(2)

lim_{x \to 1^{-}} f (x) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} a_{n}

;
(3)

lim_{x \to 1^{-}} \int_{0}^{1} \frac{t^{3} - 3 t + 2}{1 - x^{3} t^{3}} d t = \int_{0}^{1} \frac{2 - t - t^{2}}{1 + t + t^{2}} d t

, 由此推出

\sum_{n = 0}^{+ \infty} a_{n}

的值.

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20. 设矩阵

A = {(a_{i j})}_{(n - 1) \times n}

的行向量组的转置都是方程组

\sum_{i = 1}^{n} x_{i} = 0

的解,

M_{i}

是矩阵

A

中化去第

i

列剩下的

(n - 1) \times (n - 1)

矩阵的行列式, 试证:
(1)

\sum_{i = 1}^{n} (- 1)^{i} M_{i} = 0

的充要条件是

A

的行向量组的转置不是方程组

\sum_{i = 1}^{n} x_{i} = 0

的基础解系;
(2)若

\sum_{i = 1}^{n} (- 1)^{i} M_{i} = 1

, 试求每个

M_{i}

的值.

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21. 已知二次型

f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = 5 x_{1}^{2} + 5 x_{2}^{2} + a x_{3}^{2} - 2 x_{1} x_{2} + 6 x_{1} x_{3} - 6 x_{2} x_{3}

的秩为 2 .
(1) 求参数

a

以及此二次型对应矩阵的特征值;
(2)指出

f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = 1

表示何种曲面.

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22. 设二维随机变量

(X, Y)

服从二维正态分布

N (0, 0, 1, 1, ρ)

, 试求:
(1)

E [max {X, Y}]

;
(2)协方差

Cov (X - Y, X Y)

以及相关系数

Corr (X - Y, X Y)

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23. 设总体

X

的概率密度为
(f)

f (x; σ) = \frac{1}{2 σ} e^{- \frac{| x |}{σ}}, - \infty < x < + \infty

其中

σ \in (0, + \infty)

为末知参数,

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

来自总体

X

的简单随机样本.
(1)求

σ

的最大似然估计量

\hat{σ}

;
(2)求

E (\hat{σ})

和

D (\hat{σ})

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