单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
当 $x \rightarrow+\infty$ 时, $f(x)=\left(x^3-x^2+\frac{1}{2} x\right) \mathrm{e}^{\frac{1}{x}}-\sqrt{x^6+1}-\frac{1}{6}$ 是 $g(x)=\alpha x^\beta$ 等价无穷小, 则 $\alpha, \beta=$
$\text{A.}$ $\alpha=\frac{1}{2}, \beta=-1$
$\text{B.}$ $\alpha=\frac{1}{8}, \beta=-1$
$\text{C.}$ $\alpha=\frac{1}{8}, \beta=-2$
$\text{D.}$ $\alpha=\frac{1}{2}, \beta=-2$
设 $g(t)$ 是正值连续函数, 且 $f(x)=\int_{-a}^a|x-t| g(t) \mathrm{d} t, a>0, x \in[-a, a]$, 关于曲线 $y=f(x)$, 下列说法正确的是
$\text{A.}$ 在 $[-a, 0]$ 上是凹的, 在 $[0, a]$ 上是凸的
$\text{B.}$ 在 $[-a, 0]$ 上是凸的, 在 $[0, a]$ 上是凹的.
$\text{C.}$ 在 $[-a, a]$ 上是凹的.
$\text{D.}$ 在 $[-a, a]$ 上是凸的.
设 $y=f(x)$ 是微分方程 $y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+4 y=-e^{\sin x}$ 的一个解, 若 $f\left(x_0\right)>0, f^{\prime}\left(x_0\right)=0$, 则函数 $f(x)$ 在点 $x_0$
$\text{A.}$ 取得极大值
$\text{B.}$ 某邻域内单调增加.
$\text{C.}$ 某邻域内单调减少.
$\text{D.}$ 取得极小值
设正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \ln \left(1+a_n\right)$ 收敛, 则级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \sqrt{a_n a_{n+1}}$ 的敛散性为
$\text{A.}$ 条件收敛
$\text{B.}$ 绝对收敛
$\text{C.}$ 发散
$\text{D.}$ 无法判断
设有齐次线性方程组 $A x=0$ 和 $B x=0$, 其中 $A, B$ 均为 $m \times n$ 矩阵, 下列有四个命 题:
(1) 若 $A x=0$ 的解均是 $B x=0$ 的解, 则 $r(A) \geq r(B)$;
(2) 若 $r(A) \geq r(B)$, 则 $A x=0$ 的解均是 $B x=0$ 的解;
(3)若 $A x=0$ 与 $B x=0$ 同解, 则 $r(A)=r(B)$;
(4)若 $r(A)=r(B)$, 则 $A x=0$ 与 $B x=0$ 同解.
以上命题中正确的是
$\text{A.}$ $(1)(2)$
$\text{B.}$ $(3)(4)$
$\text{C.}$ $(2)(4)$
$\text{D.}$ $(1)(3)$
设 $A, P$ 均为 3 阶方阵, $P^T$ 为 $P$ 的转置矩阵, 且 $P^T A P=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right]$, 若 $P=$ $\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\right), Q\left(\alpha_1+\alpha_2, \alpha_2, \alpha_3\right)$, 则 $Q^T A Q$ 为
$\text{A.}$ $\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right]$
$\text{B.}$ $\left[\begin{array}{lll}2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right]$
$\text{C.}$ $\left[\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right]$
$\text{D.}$ $\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right]$
某工厂急需 12 只集成电路装配仪表, 现要到外地采购, 已知该型号集成电路的不合格 品率为 $0.1$, 问需要采购几只才能以 $99 \%$ 的把握保证其中合格的集成电路不少于有 12 只?
$\text{A.}$ 15
$\text{B.}$ 16
$\text{C.}$ 17
$\text{D.}$ 18
设随机事件 $A, B, C$ 两两相互独立且满足条件 $P(A B C)=0, P(A)=P(B)=P(C) < $ $\frac{1}{2}, P(A \cup B \cup C)=\frac{9}{16}$, 则 $P(A)$
$\text{A.}$ $\frac{3}{4}$
$\text{B.}$ $\frac{3}{8}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{6}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{4}$
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
求椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 在第一象限中的切线（ ）, 使它被两坐标轴所截的线段最短.
设 $a_n=\int_0^{n \pi} x|\sin x| \mathrm{d} x$, 求级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{a_n}}-\frac{1}{\sqrt{a_{n+1}}}\right)$ 的和
计算三重积分 $\iiint_{\Omega} z \cos \left(x^2+y^2\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=$ （ ）, 其中 $\Omega$ 为 $x^2+y^2+z^2 \leq R^2, z \geq$ $0, R>0$ 且 $x, y, z \in \mathbb{R}$.
计算广义积分 $\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{(1+|x|) \sqrt{|x(1-x)|}} \mathrm{d} x=$
设 $A$ 是三阶方阵, $I$ 是三阶单位矩阵, 且 $|A+I|=0,|A+2 I|=0,|A+3 I|=0$, 则 $|A+4 I|=$
设随机变量 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)$, 且 $P(X < -1)=P(X \geq 3)=\Phi(-1)$, 其中 $\Phi(x)$ 为标准 正态分布函数, 则 $\mu=$ （ ） ,$\sigma=$ （ ）
解答题 （共 9 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设函数 $f(x)$ 具有连续的导数, 且 $f(1)=0, f^{\prime}(1)=2$, 求 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f\left(\sin ^2 x+\cos x\right)}{\mathrm{e}^{x^2}-\cos x}$
设函数 $z=\left(x^2+y^2\right) f\left(x^2+y^2\right)$ 满足 $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=0$, 且 $f(1)=0, f^{\prime}(1)=1$, 若 $f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上有连续二阶导数, 求 $f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 的最大值.
设某 $A$ 从 $O x y$ 平面的原点出发, 沿 $x$ 轴正方向前进; 同时某 $B$ 从点 $(0, b)$ 开始追踪 $A$, 即 $B$ 的运动方向永远指向 $A$ 并与 $A$ 保持等距 $b$, 试求 $B$ 的光滑运动轨迹.
计算曲面积分
$$
\iiint \int_D \sqrt{\frac{1-x^2-y^2-z^2-w^2}{1+x^2+y^2+z^2+w^2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} w
$$
其中 $D$ 为 $x^2+y^2+z^2+w^2 \leq 1, x, y, z, w \geq 0$.
设 $x \in[-1,1]$, 对 $\forall n \in \mathbb{N}$ 有 $a_n=\frac{1}{3 n+4}-\frac{3}{3 n+2}+\frac{2}{3 n+1}$,
试证:
(1) $f(x)=\int_0^1 \frac{t^3-3 t+2}{1-x^3 t^3} \mathrm{~d} t=\sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^{3 n}$;
(2) $\lim _{x \rightarrow 1^{-}} f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty} a_n$;
(3) $\lim _{x \rightarrow 1^{-}} \int_0^1 \frac{t^3-3 t+2}{1-x^3 t^3} \mathrm{~d} t=\int_0^1 \frac{2-t-t^2}{1+t+t^2} \mathrm{~d} t$, 由此推出 $\sum_{n=0}^{+\infty} a_n$ 的值.
设矩阵 $A=\left(a_{i j}\right)_{(n-1) \times n}$ 的行向量组的转置都是方程组 $\sum_{i=1}^n x_i=0$ 的解, $M_i$ 是矩阵 $A$ 中化去第 $i$ 列剩下的 $(n-1) \times(n-1)$ 矩阵的行列式, 试证:
(1) $\sum_{i=1}^n(-1)^i M_i=0$ 的充要条件是 $A$ 的行向量组的转置不是方程组 $\sum_{i=1}^n x_i=0$ 的基础 解系;
(2)若 $\sum_{i=1}^n(-1)^i M_i=1$, 试求每个 $M_i$ 的值.
已知二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=5 x_1^2+5 x_2^2+a x_3^2-2 x_1 x_2+6 x_1 x_3-6 x_2 x_3$ 的秩为 2 .
(1) 求参数 $a$ 以及此二次型对应矩阵的特征值;
(2)指出 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=1$ 表示何种曲面.
设二维随机变量 $(X, Y)$ 服从二维正态分布 $N(0,0,1,1, \rho)$, 试求:
(1) $E[\max \{X, Y\}]$;
(2)协方差 $\operatorname{Cov}(X-Y, X Y)$ 以及相关系数 $\operatorname{Corr}(X-Y, X Y)$.
设总体 $X$ 的概率密度为
(f) $f(x ; \sigma)=\frac{1}{2 \sigma} \mathrm{e}^{-\frac{|x|}{\sigma}},-\infty < x < +\infty$
其中 $\sigma \in(0,+\infty)$ 为末知参数, $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 来自总体 $X$ 的简单随机样本.
(1)求 $\sigma$ 的最大似然估计量 $\hat{\sigma}$;
(2)求 $E(\hat{\sigma})$ 和 $D(\hat{\sigma})$.