数学试题讲解

设

x \in [- 1, 1]

, 对

\forall n \in N

有

a_{n} = \frac{1}{3 n + 4} - \frac{3}{3 n + 2} + \frac{2}{3 n + 1}

,

试证:
(1)

f (x) = \int_{0}^{1} \frac{t^{3} - 3 t + 2}{1 - x^{3} t^{3}} d t = \sum_{n = 0}^{+ \infty} a_{n} x^{3 n}

;
(2)

lim_{x \to 1^{-}} f (x) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} a_{n}

;
(3)

lim_{x \to 1^{-}} \int_{0}^{1} \frac{t^{3} - 3 t + 2}{1 - x^{3} t^{3}} d t = \int_{0}^{1} \frac{2 - t - t^{2}}{1 + t + t^{2}} d t

, 由此推出

\sum_{n = 0}^{+ \infty} a_{n}

的值.