设 $x \in[-1,1]$, 对 $\forall n \in \mathbb{N}$ 有 $a_n=\frac{1}{3 n+4}-\frac{3}{3 n+2}+\frac{2}{3 n+1}$,
试证:
(1) $f(x)=\int_0^1 \frac{t^3-3 t+2}{1-x^3 t^3} \mathrm{~d} t=\sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^{3 n}$;
(2) $\lim _{x \rightarrow 1^{-}} f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty} a_n$;
(3) $\lim _{x \rightarrow 1^{-}} \int_0^1 \frac{t^3-3 t+2}{1-x^3 t^3} \mathrm{~d} t=\int_0^1 \frac{2-t-t^2}{1+t+t^2} \mathrm{~d} t$, 由此推出 $\sum_{n=0}^{+\infty} a_n$ 的值.