题号:2496    题型:解答题    来源:2022年9月考研数学 (一二三) 第一次模拟试题
设函数 $z=\left(x^2+y^2\right) f\left(x^2+y^2\right)$ 满足 $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=0$, 且 $f(1)=0, f^{\prime}(1)=1$, 若 $f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上有连续二阶导数, 求 $f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 的最大值.
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答案:
解: 记 $r=\sqrt{x^2+y^2}$, 则 $z=r^2 f\left(r^2\right)$, 即
$$
\frac{\partial z}{\partial x}=2 x\left[f\left(r^2\right)+r^2 f^{\prime}\left(r^2\right)\right], \frac{\partial z}{\partial y}=2 y\left[f\left(r^2\right)+r^2 f^{\prime}\left(r^2\right)\right]
$$
计算二阶偏导数有
$$
\begin{aligned}
&\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}=2 f\left(r^2\right)+2 f^{\prime}\left(r^2\right)\left(r^2+4 x^2\right)+4 x^2 r^2 f^{\prime \prime}\left(r^2\right) \\
&\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=2 f\left(r^2\right)+2 f^{\prime}\left(r^2\right)\left(r^2+4 y^2\right)+4 y^2 r^2 f^{\prime \prime}\left(r^2\right)
\end{aligned}
$$
代入条件 $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=0$ 可得
$$
r^4 f^{\prime \prime}\left(r^2\right)+3 r^2 f^{\prime}\left(r^2\right)+f\left(r^2\right)=0
$$
令 $u=r^2, v=f(u)$, 即可化简为欧拉方程
$u^2 \frac{\mathrm{d}^2 v}{\mathrm{~d} u^2} \mathrm{~d} u^2+3 u \frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{~d} u}+v=0$
设 $u=\mathrm{e}^t$,
$\frac{\mathrm{d}^2 v}{\mathrm{~d} t^2}+2 \frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{~d} t}+v=0$
解得 $f(u)=\frac{\ln u}{u}$, 可知 $f(\mathrm{e})=\frac{1}{\mathrm{e}}$ 为 $f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 的最大值.
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