设函数 $z=\left(x^2+y^2\right) f\left(x^2+y^2\right)$ 满足 $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=0$, 且 $f(1)=0, f^{\prime}(1)=1$, 若 $f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上有连续二阶导数, 求 $f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 的最大值.
$\text{A.}$
$\text{B.}$
$\text{C.}$
$\text{D.}$