单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
已知集合 $A=\left\{x \mid x^2-4 x-5 < 0\right\}, B=\left\{y \mid y=\ln \left(x^2+1\right)\right\}$, 则 $A \cap B=$
$\text{A.}$ $(-1,5)$
$\text{B.}$ $[0,5)$
$\text{C.}$ $(-1,+\infty)$
$\text{D.}$ $[0,1)$
已知复数 $z=\frac{3+\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}}$, 则 $|\bar{z}+3 \mathrm{i}|=$
$\text{A.}$ $\sqrt{2}$
$\text{B.}$ $\sqrt{3}$
$\text{C.}$ $\sqrt{6}$
$\text{D.}$ $\sqrt{5}$
已知平面向量 $a, b$ 满足 $|a|=2, b=(1,1),|a+b|=\sqrt{10}$, 则 $a$ 在 $b$ 上的投影向量的坐标为
$\text{A.}$ $\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$
$\text{B.}$ $(1,1)$
$\text{C.}$ $(-1,-1)$
$\text{D.}$ $\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$
在 $\triangle A B C$ 中, “ $\tan A \tan B < 1$ ”是“ $\triangle A B C$ 为针角三角形”的
$\text{A.}$ 充分不必要条件
$\text{B.}$ 必要不充分条件
$\text{C.}$ 充要条件
$\text{D.}$ 既不充分也不必要条件
已知等比数列 $\left\{a_n\right\}$ 的各项均为正数, 且 $a_1 a_2 a_3=27, a_4-a_2=-\frac{8}{3}$, 则 $a_1 a_2 \cdots a_n$ 的最大值为
$\text{A.}$ 9
$\text{B.}$ 8
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 27
已知双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1, F_2$, 过 $F_1$ 作直线 $l$ 与 $C$ 的左、右两支分 别交于 $M, N$ 两点, 且 $\triangle M N F_2$ 是以 $\angle M N F_2$ 为顶角的等腰直角三角形, 若 $C$ 的离心率为 $e$, 则 $e^2=$
$\text{A.}$ $5+3 \sqrt{3}$
$\text{B.}$ $5+3 \sqrt{2}$
$\text{C.}$ $5+2 \sqrt{2}$
$\text{D.}$ $5+2 \sqrt{3}$
某商场去年一年中各月份的收人、支出情况如图所示, 则
$\text{A.}$ 月支出最大值与支出诹小值的比是 $8: 1$
$\text{B.}$ 4 月至 6 月份的月平均收人为 50 万元
$\text{C.}$ 利润最高的月份是 2 月份
$\text{D.}$ 2 月至 3 月份的收人的变化率与 11 月至 12 月份的收人的变化 率相同
若不等式 $\mathrm{e}^{x-1}-m x-2 n-3 \geqslant 0$ 对 $\forall x \in \mathbf{R}$ 恒成立, 其中 $m \neq 0$, 则 $\frac{n}{m}$ 的最大值为
$\text{A.}$ $-\frac{\ln 3 \mathrm{e}}{2}$
$\text{B.}$ $-\ln 3 \mathrm{e}$
$\text{C.}$ $\ln 3 e$
$\text{D.}$ $\frac{\ln 3 e}{2}$
多选题 （共 4 题 ），每题有多个选项正确
在长方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 中, $A B=A A_1=6, A D=2$, 则
$\text{A.}$ 平面 $A B_1 C_1 D \perp$ 平面 $A_1 B C D_1$
$\text{B.}$ 直线 $A B_1$ 与 $C D_1$ 所成的角为 $\frac{\pi}{2}$
$\text{C.}$ $A$ 到平面 $B D D_1 B_1$ 的距离为 $3 \sqrt{2}$
$\text{D.}$ 直线 $A_1 B$ 与 $A D_1$ 所成的角为 $\frac{\pi}{3}$
已知函敞 $f(x)=\cos x[\ln (2 \pi-x)+\ln x]$, 则
$\text{A.}$ $f(x)$ 的图象关于点 $(\pi, 0)$ 对称
$\text{B.}$ $f(x)$ 的图嶑关于直线 $x=\pi$ 对称
$\text{C.}$ $f(\pi+x)$ 是奇函数
$\text{D.}$ $f(x)$ 有 4 个零点
某不透明的袋子中装有 5 个质地、大小均相同的球, 分别标有数字 $1,2,3,4,5$, 从中有放回的随机取两次，每次取1个球，事件A=“第一次取出的球的数字是1”，事件B=“第二次取出的球的数字是2”，事件C=“两次取出的球的数字之和是7”，事件D=“两次取出的球的数字之和是6”，则
$\text{A.}$ $A$ 与 $C$ 相互独立
$\text{B.}$ $B$ 与 $D$ 相互独立
$\text{C.}$ $A$ 与 $D$ 相互独立
$\text{D.}$ $B$ 与 $C$ 相互独立
已知抛物线 $C: x^2=-8 y$ 的焦点为 $F$, 过 $F$ 的直线 $l$ 与抛物线 $C$ 相交于 $A, B$ 两点, 分别过 $A, B$ 两点 作 $C$ 的切线 $l_1, l_2$, 且 $l_1, l_2$ 相交于点 $P$, 则
$\text{A.}$ $|P F|=4$
$\text{B.}$ 点 $P$ 在直线 $y=2$ 上
$\text{C.}$ $\triangle P A B$ 为直角三角形
$\text{D.}$ $\triangle P A B$ 面积的最小值为 16
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知圆$C:(x-2)^2+(y-1)^2=4$, 则过原点且与 $C$ 相切的直线方程为
五位同学站成一排合影, 张三站在最右边, 李四、王五相邻, 则不同的站法种数为
在三椶钪 $P-A B C$ 中,三条棱 $P A, P B, P C$ 两两韭直, 且 $P A=P B=P C=2$, 则平面 $A B C$ 截该三棱锥 的外接球所得截面因的面积为
已知 $f(x) $ 是定义域为 $\mathbf{R}$ 的函数, $ f(x-2)$ 为奇函数, $ f(2 x-1) $ 为偶函数, 则 $ \sum_{i=0}^{16} f(i)=$
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项的和为 $S_n, a_2+S_2=20, a_5=14$.
(1)求 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式;
(2) 求数列 $\left\{\frac{1}{a_n a_{n+1}}\right\}$ 的堼 $n$ 项和 $T_n$. 并证明 $T_n < \frac{1}{6}$.
已知 $\triangle A B C$ 的角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$, 且 $\sin A(c \cos B+b \cos C)-c \sin B=c \sin C+b \sin B$,
(1) 求角 $A$;
(2) 若 $A D$ 平分 $\angle B A C$ 交线段 $B C$ 于点 $D$, 且 $A D=2, B D=2 C D$, 求 $\triangle A B C$ 的周长.
某校为了级解高三学子复习压力,举行“趣味数学”围关活动, 规定每人从 10 道题中随机抽 3 道回答, 至少答对 2 题即可闯过第一关, 某班有 5 位同学参加闯关活动, 假设每位同学都能答对 10 道题中的 6 道题,且每位同学能否闯过第一关相互独立.
(1)求 $B$ 同学闯过第一关的概率;
(2) 求这 5 位同学闯过第一关的人数 $X$ 的分布列和数学期望.
如图 1, 四边形 $A B C D$ 是梯形, $A B / / C D, A D=D C=C B=\frac{1}{2} A B=4, M$ 是 $A B$ 的中点, 将 $\triangle A D M$ 沿 $D M$ 折起至 $\triangle A^{\prime} D M$, 如图 2, 点 $N$ 在线段 $A^{\prime} C$ 上.
(1) 若 $N$ 是 $A^{\prime} C$ 的中点, 求证: 平面 $D N M \perp$ 平面 $A^{\prime} B C$;
(2) 若 $A^{\prime} C=2 \sqrt{6}$, 平面 $D N M$ 与平面 $C D M$ 夹角的余弦值为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$, 求 $\frac{A^{\prime} N}{N C}$.
已知 $A(-2 \sqrt{2}, 0), B(2 \sqrt{2}, 0)$, 直线 $P A, P B$ 的斜率之积为 $-\frac{3}{4}$, 记动点 $P$ 的轨迹为曲线 $C$.
(1)求 $C$ 的方程;
(2) 直线 $l$ 与曲线 $C$ 交于 $M, N$ 两点, $O$ 为坐标原点, 若直线 $O M, O N$ 的斜率之和为 $-\frac{3}{4}$, 证明: $\triangle M O N$ 的面积为定值.
已知函数 $f(x)=x^2-\left(a^2+2\right) x+a \ln x(a \in \mathbf{R})$.
(1) 当 $a=1$ 时,求 $f(x)$ 的单调区间;
(2) 当 $x \geqslant \mathrm{e}^2$ 时, $f(x)+\left(a^2-3 a+2\right) x+\left(a^2-a\right) \ln x \geqslant 0$ 恒成立,求实数 $a$ 的取值范围.