题号:2017    题型:多选题    来源:2022-2023湖北九师联盟高三上学期开学数学摸底考试
类型:模拟考试
已知函敞 $f(x)=\cos x[\ln (2 \pi-x)+\ln x]$, 则
$A.$ $f(x)$ 的图象关于点 $(\pi, 0)$ 对称 $B.$ $f(x)$ 的图嶑关于直线 $x=\pi$ 对称 $C.$ $f(\pi+x)$ 是奇函数 $D.$ $f(x)$ 有 4 个零点
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答案:
BD

解析:

$f(x)=\cos x[\ln (2 \pi-x)+\ln x]=\cos x \ln \left(-x^2+2 \pi x\right)=\cos x \ln \left[-(x-\pi)^2+\pi^2\right], f(2 \pi-x)=f(x)$, 所以 $f(x)$ 的图象关于直线 $x=\pi$ 对称, 故 $\mathrm{A}$ 错误, B 正确; $f(x)$ 的定义域为 $(0,2 \pi), f(x+\pi)$ 的定义域为 $(-\pi, \pi), g(x)=$ $f(\pi+x)=\cos (\pi+x)[\ln (\pi-x)+\ln (\pi+x)]=-\cos x \ln \left(\pi^2-x^2\right)$ 为偶函数, 故 $\mathrm{C}$ 错误; 当 $x \in(0,2 \pi)$ 时, 由 $f(x)=0$, 得 $\cos x=0$, 或 $\ln (2 \pi-x)+\ln x=0$. 由 $\cos x=0$, 解得 $x_1=\frac{\pi}{2}$, 或 $x_2=\frac{3}{2} \pi$; 由 $\ln (2 \pi-x)+\ln x=0$, 得 $-x^2+2 \pi x=1$, 解得 $x_3=\pi-\sqrt{\pi^2-1} \in(0,2 \pi), x_4=\pi+\sqrt{\pi^2-1} \in(0,2 \pi)$. 综上, $f(x)$ 有 4 个零点, 故 D正确. 故选 BD.

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