题号:2028    题型:解答题    来源:2022-2023湖北九师联盟高三上学期开学数学摸底考试
已知 $A(-2 \sqrt{2}, 0), B(2 \sqrt{2}, 0)$, 直线 $P A, P B$ 的斜率之积为 $-\frac{3}{4}$, 记动点 $P$ 的轨迹为曲线 $C$.
(1)求 $C$ 的方程;
(2) 直线 $l$ 与曲线 $C$ 交于 $M, N$ 两点, $O$ 为坐标原点, 若直线 $O M, O N$ 的斜率之和为 $-\frac{3}{4}$, 证明: $\triangle M O N$ 的面积为定值.
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答案:
(1) 解: 设 $P(x, y)$, 则直线 $P A$ 的斜率 $k_{P A}=\frac{y}{x+2 \sqrt{2}}(x \neq-2 \sqrt{2})$, 直线 $P B$ 的斜率 $k_{P B}=\frac{y}{x-2 \sqrt{2}}(x \neq 2 \sqrt{2})$.
由题意 $k_{P A} \cdot k_{P B}=\frac{y}{x+2 \sqrt{2}} \cdot \frac{y}{x-2 \sqrt{2}}=\frac{y^2}{x^2-8}=-\frac{3}{4}$, 化简得 $\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{6}=1(x \neq \pm 2 \sqrt{2})$.
(2) 证明: 当直线 $l$ 的斜率存在时, 可设其方程为 $y=k x+m$,
联立 $\left\{\begin{array}{l}y=k x+m, \\ \frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{6}=1,\end{array}\right.$ 化简得 $\left(3+4 k^2\right) x^2+8 k m x+4 m^2-24=0 .$
设 $M\left(x_1, y_1\right), N\left(x_2, y_2\right)$,
则 $\Delta=(8 k m)^2-4\left(3+4 k^2\right)\left(4 m^2-24\right)=48\left(8 k^2+6-m^2\right) > 0$,

$$
x_1+x_2=-\frac{8 k m}{3+4 k^2}, x_1 x_2=\frac{4 m^2-24}{3+4 k^2} .
$$

$$
\begin{aligned}
&\text { 所以 } k_{O M} \cdot k_{O N}=\frac{y_1 y_2}{x_1 x_2}=\frac{\left(k x_1+m\right)\left(k x_2+m\right)}{x_1 x_2}=\frac{k^2 x_1 x_2+k m\left(x_1+x_2\right)+m^2}{x_1 x_2}=\frac{\frac{4 m^2 k^2-24 k^2-8 k^2 m^2+3 m^2+4 k^2 m^2}{3+4 k^2}}{\frac{4 m^2-24}{3+4 k^2}} \\
&=\frac{-24 k^2+3 m^2}{4 m^2-24}=-\frac{3}{4},
\end{aligned}
$$

$$
=\frac{-24 k^2+3 m^2}{4 m^2-24}=-\frac{3}{4},
$$
化简得 $m^2=4 k^2+3$,
则 $|M N|-\sqrt{1+k^2}\left|x_1-x_2\right|-\frac{\sqrt{1+k^2} \sqrt{48\left(8 k^2+6-m^2\right)}}{3+4 k^2}-\frac{4 \sqrt{3} \sqrt{1+k^2} \sqrt{4 k^2+3}}{4 k^2+3}-\frac{4 \sqrt{3} \sqrt{1+k^2}}{\sqrt{3+4 k^2}}$,
又 $O$ 到 $M N$ 的距离 $d=\frac{|m|}{\sqrt{1+k^2}}=\frac{\sqrt{4 k^2+3}}{\sqrt{1+k^2}}$,
所以 $S_{\triangle C M N}=\frac{1}{2}|M N| \cdot d=\frac{1}{2} \cdot \frac{4 \sqrt{3} \sqrt{1+k^2}}{\sqrt{3+4 k^2}} \cdot \frac{\sqrt{3+4 k^2}}{\sqrt{1+k^2}}=2 \sqrt{3}$, 为定值.
当直线 $l$ 的斜率不存在时, 可设 $M\left(x_0, y_0\right), N\left(x_0,-y_0\right)$,

则 $k_{C M} \cdot k_{O N}=-\frac{y_0^2}{x_0^2}=-\frac{3}{4}$, 且 $\frac{x_0^2}{8}+\frac{y_0^2}{6}=1$, 解得 $x_0^2=4, y_0^2=3$, 此时 $S_{\triangle C M N}=2 \times \frac{1}{2} \times\left|x_0 y_0\right|=2 \sqrt{3}$. 综上, $\triangle O M N$ 的面积为定值 $2 \sqrt{3}$.
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