题号:2019    题型:多选题    来源:2022-2023湖北九师联盟高三上学期开学数学摸底考试
类型:模拟考试
已知抛物线 $C: x^2=-8 y$ 的焦点为 $F$, 过 $F$ 的直线 $l$ 与抛物线 $C$ 相交于 $A, B$ 两点, 分别过 $A, B$ 两点 作 $C$ 的切线 $l_1, l_2$, 且 $l_1, l_2$ 相交于点 $P$, 则
$A.$ $|P F|=4$ $B.$ 点 $P$ 在直线 $y=2$ 上 $C.$ $\triangle P A B$ 为直角三角形 $D.$ $\triangle P A B$ 面积的最小值为 16
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答案:
BCD

解析:

由题意知, 直线 $l$ 的斜率存在且与 $C$ 有两个交点, 设方程为 $y=k x-2, A\left(x_1, y_1\right), B\left(x_2, y_2\right)\left(x_1 \neq x_2\right)$, 由 $\left\{\begin{array}{l}x^2=-8 y, \\ y=k x-2,\end{array}\right.$ 得 $x^2+8 k x-16=0$, 则 $x_1+x_2=-8 k, x_1 x_2=-16$. 抛物线 $C$ 的方程可化为 $y=-\frac{x^2}{8}$, 则 $y^{\prime}=-\frac{x}{4}$, 从而 $l_1$ 的方程为 $y=-\frac{x_1}{4}\left(x-x_1\right)-\frac{x_1^2}{8}$, 即 $y=-\frac{x_1}{4} x+\frac{x_1^2}{8}$, 同理可得, $l_2$ 的方程为 $y=-\frac{x_2}{4} x+\frac{x_2^2}{8}$.


由 $\left\{\begin{array}{l}y=-\frac{x_1}{4} x+\frac{x_1^2}{8}, \\ y=-\frac{x_2}{4} x+\frac{x_2^2}{8},\end{array}\right.$ 解得 $
\left\{\begin{array}{l}
x=\frac{x_1+x_2}{2} \\
y=-\frac{x_1 x_2}{8}
\end{array}\right.
$
所以 $ P(-4 k, 2) $, 即点 P在直线 y=2 上, 则 B 正确;

$k_{P A} k_{P B}=\left(-\frac{x_1}{4}\right)\left(-\frac{x_2}{4}\right)=1$ C正确;

$|P F|=\sqrt{(-4 k)^2+(2+2)^2}=\sqrt{16 k^2+16}$, 则 $\mathrm{A}$ 错误; 因为 $k_{P F} \cdot k_l=\frac{2-(-2)}{-4 k-0} \cdot k=-1$, 所以 $P F \perp A B, S_{\triangle P A B}=$ $\frac{1}{2}|A B||P F|=\frac{1}{2} \sqrt{\left(1+k^2\right)\left[(-8 k)^2-4 \times(-16)\right]} \times \sqrt{16 k^2+16}=16\left(k^2+1\right)^{\frac{3}{2}} \geqslant 16, k=0$ 时取等号, 则 D 正确.

故选 BCD.

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