题号:2026    题型:解答题    来源:2022-2023湖北九师联盟高三上学期开学数学摸底考试
某校为了级解高三学子复习压力,举行“趣味数学”围关活动, 规定每人从 10 道题中随机抽 3 道回答, 至少答对 2 题即可闯过第一关, 某班有 5 位同学参加闯关活动, 假设每位同学都能答对 10 道题中的 6 道题,且每位同学能否闯过第一关相互独立.

(1)求 $B$ 同学闯过第一关的概率;
(2) 求这 5 位同学闯过第一关的人数 $X$ 的分布列和数学期望.
0 条评论 分享 0 人推荐 收藏 ​ ​ 0 次查看 我来讲解
答案:
解: (1)B 同学闾过第一关的情况有答对 2 题和答对 3 题,故 $B$ 同学阁过第一关的概率
$P=\frac{\mathrm{C}_6^3+\mathrm{C}_6^2 \mathrm{C}_1^1}{\mathrm{C}_6^3}=\frac{2}{3}$.
(2) 由题意可知 $X$ 的所有可能取值为 $0,1,2,3,4,5$, 且 $X$ 服从二项分布, 即 $X \sim B\left(5, \frac{2}{3}\right)$.
$P(X=0)=\left(\frac{1}{3}\right)^5=\frac{1}{243}, P(X=1)=\mathrm{C}_5\left(\frac{2}{3}\right)\left(\frac{1}{3}\right)^4=\frac{10}{243}$,
$P(X=2)=\mathrm{C}_5^2\left(\frac{2}{3}\right)^2\left(\frac{1}{3}\right)^3=\frac{40}{243}, P(X=3)=\mathrm{C}_5^3\left(\frac{2}{3}\right)^3\left(\frac{1}{3}\right)^2=\frac{80}{243}$,
$P(X=4)=C_5\left(\frac{2}{3}\right)^4\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{80}{243}, P(X=5)=\left(\frac{2}{3}\right)^5=\frac{32}{243} .$
故 $X$ 的分布列为


所以 $E(X)=0 \times \frac{1}{243}+1 \times \frac{10}{243}+2 \times \frac{40}{243}+3 \times \frac{80}{243}+4 \times \frac{80}{243}+5 \times \frac{32}{243}=\frac{10}{3}$. 或 $E(X)=5 \times \frac{2}{3}=\frac{10}{3}$.

关闭