题号:2022    题型:填空题    来源:2022-2023湖北九师联盟高三上学期开学数学摸底考试
在三椶钪 $P-A B C$ 中,三条棱 $P A, P B, P C$ 两两韭直, 且 $P A=P B=P C=2$, 则平面 $A B C$ 截该三棱锥 的外接球所得截面因的面积为
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答案:
$\frac{8}{3} \pi$

解析:

将该三棱锥放在正方体中, 使 $P A, P B, P C$ 为其三条棱, 该正方体的外接球即为该三棱锥的外接球, 所以球的半 径 $R=\sqrt{3}$, 球心 $O$ 到平面 $A B C$ 的距离为 $d=\sqrt{3}-\frac{2 \sqrt{3}}{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}$, 所以截面圆的半径 $r=\sqrt{R^2-d^2}=\frac{2 \sqrt{6}}{3}$, 从而所求截面圆 的面积为 $S=\pi r^2=\frac{8}{3} \pi$.
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