单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
设 $f(x)=\int_{0}^{\sin x} \sin \left(t^{2}\right) d t, g(x)=x^{3}+x^{4}$ 则当 $x \rightarrow 0$ 时, $f(x)$ 是 $g(x)$ 的
$\text{A.}$ 等价无穷小
$\text{B.}$ 同阶但非等价无穷小
$\text{C.}$ 高阶无穷小
$\text{D.}$ 低阶无穷小
双纽线 $\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}=x^{2}-y^{2}$ 所围成的区域面积可用定积分表示为
$\text{A.}$ $2 \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos 2 \theta d \theta$
$\text{B.}$ $4 \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos 2 \theta d \theta$
$\text{C.}$ $2 \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sqrt{\cos 2 \theta} d \theta$
$\text{D.}$ $\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}(\cos 2 \theta)^{2} d \theta$
设有直线 $L_{1}: \frac{x-1}{1}=\frac{y-5}{-2}=\frac{z+8}{1}$ 与 $L_{2}:\left\{\begin{array}{l}x-y=6 \\ 2 y+z=3\end{array}\right.$, 则 $L_{1}$ 与 $L_{2}$ 的夹角为 ( )
$\text{A.}$ $\frac{\pi}{6}$
$\text{B.}$ $\frac{\pi}{4}$
$\text{C.}$ $\frac{\pi}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{\pi}{2}$
设曲线积分 $\int_{L}\left[f(x)-e^{x}\right] \sin y d x-f(x) \cos y d y$ 与路径无关, 其中 $f(x)$ 具有一阶连续导数, 且 $f(0)=0$, 则 $f(x)$ 等于
$\text{A.}$ $\frac{e^{-x}-e^{x}}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}-1$
$\text{D.}$ $1-\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}$
已知 $Q=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & t \\ 3 & 6 & 9\end{array}\right), P$ 为三阶非零矩阵, 且满足 $P Q=0$, 则
$\text{A.}$ $t=6$ 时, $P$ 的秩必为 1
$\text{B.}$ $t=6$ 时, $P$ 的秩必为 2
$\text{C.}$ $t \neq 6$ 时, $P$ 的秩必为 1
$\text{D.}$ $t \neq 6$ 时, $P$ 的秩必为 2
填空题 （共 7 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
函数 $F(x)=\int_{1}^{x}\left(2-\frac{1}{\sqrt{t}}\right) d t(x>0)$ 的单调减少区间为
由曲线 $\left\{\begin{array}{l}3 x^{2}+2 y^{2}=12, \\ z=0\end{array}\right.$ 绕 $y$ 轴旋转一周得到的旋转面在点 $(0, \sqrt{3}, \sqrt{2})$ 处的指向外侧 的单位法向量为
设函数 $f(x)=\pi x+x^{2}(-\pi < x < \pi)$ 的傅里叶级数展开式为 $\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n} \cos n x+b_{n} \sin n x\right)$, 则其中系数 $b_{3}$ 的值为
设数量场 $u=\ln \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$, 则 $\operatorname{div}(\operatorname{grad} u)=$
设 $n$ 阶矩阵 $A$ 的各行元素之和均为零, 且 $A$ 的秩为 $n-1$, 则线性方程组 $A x=0$ 的通解 为
一批产品共有个 10 正品和 2 个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不放回，则第二次抽出的是次品的概率为
设随机变量 $X$ 服从 $(0,2)$ 的均匀分布, 则随机变量 $Y=X^2$在 $(0,4)$ 内概率分布密度 $f_Y(y)=$
解答题 （共 13 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\sin \frac{2}{x}+\cos \frac{1}{x}\right)^{x}$.
求 $\int \frac{x e^{x}}{\sqrt{e^{x}-1}} d x$.
求微分方程 $x^{2} y^{\prime}+x y=y^{2}$, 满足初始条件 $\left.y\right|_{x=1}=1$ 的特解.
计算 $\iint_{\Sigma} 2 x z d y d z+y z d z d x-z^{2} d x d y$, 其中 $\Sigma$ 是由曲面 $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 与 $z=\sqrt{2-x^{2}-y^{2}}$ 所围立体的表面外侧.
求级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}\left(n^{2}-n+1\right)}{2^{n}}$ 的和.
设在 $[0,+\infty)$ 上函数 $f(x)$ 有连续导数, 且 $f^{\prime}(x) \geq k>0, f(0) < 0$, 证明 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 内有且仅有一个零点.
设 $b>a>e$, 证明 $a^{b}>b^{a}$.
已知二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=2 x_{1}^{2}+3 x_{2}^{2}+3 x_{3}^{2}+2 a x_{2} x_{3}(a>0)$, 通过正交变换化成标准形$f=y_{1}^{2}+2 y_{2}^{2}+5 y_{3}^{2}$, 求参数 $a$ 及所用的正交变换矩阵.
设 $A$ 是 $n \times m$ 矩阵, $B$ 是 $m \times n$ 矩阵, 其中 $n < m, E$ 是 $n$ 阶单位矩阵, 若 $A B=E$, 证明 $B$ 的列向量组线性无关.
设物体 $A$ 从点 $(0,1)$ 出发, 以速度大小为常数 $v$ 沿 $y$ 轴正向运动. 物体 $B$ 从点 $(-1,0)$ 与$A$ 同时出发, 其速度大小为 $2 v$, 方向始终指向 $A$, 试建立物体 $B$ 的运动轨迹所满足的微分方 程, 并写出初始条件.
设 $z=x^3 f\left(x y, \frac{y}{x}\right), f$ 具有连续二阶偏导数，求 $\frac{\partial z}{\partial y}, \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} 及 \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$
已知 $R^3$ 的两个基为
$$
\alpha_1=\left[\begin{array}{l}
1 \\
1 \\
1
\end{array}\right], \alpha_2=\left[\begin{array}{l}
1 \\
0 \\
-1
\end{array}\right], \alpha_3=\left[\begin{array}{l}
1 \\
0 \\
1
\end{array}\right]
$$
$$
\beta_1=\left[\begin{array}{l}
1 \\
2 \\
1
\end{array}\right], \beta_2=\left[\begin{array}{l}
2 \\
3 \\
4
\end{array}\right], \beta_3=\left[\begin{array}{l}
3 \\
4 \\
3
\end{array}\right]
$$
求由基 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 到基 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 的过渡矩阵.
设随机变量 $X$ 的概率分布密度为 $f(x)=\frac{1}{2} e^{-|x|},-\infty < x < +\infty$.
(1) 求 $X$ 的数学期望 $E(X)$ 和方差 $D(X)$.
(2) 求 $X$ 与 $|X|$ 的协方差, 并问 $X$ 与 $|X|$ 是否不相关?
(3) 问 $X$ 与 $|X|$ 是否相互独立? 为什么?