题号:614    题型:单选题    来源:1993年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
设 $f(x)=\int_{0}^{\sin x} \sin \left(t^{2}\right) d t, g(x)=x^{3}+x^{4}$ 则当 $x \rightarrow 0$ 时, $f(x)$ 是 $g(x)$ 的
$A.$ 等价无穷小 $B.$ 同阶但非等价无穷小 $C.$ 高阶无穷小 $D.$ 低阶无穷小
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答案:
B

解析:

$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{g(x)}$ 为 “ $\frac{0}{0}$ ” 型的极限末定式, 又分子分母在点 0 处导数都存在, 运用洛必达法则, 有
$$
\begin{aligned}
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{g(x)} &=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_{0}^{\sin x} \sin \left(t^{2}\right) d t}{x^{3}+x^{4}}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin \left(\sin ^{2} x\right) \cos x}{3 x^{2}+4 x^{3}}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin \left(\sin ^{2} x\right)}{3 x^{2}+4 x^{3}} \lim _{x \rightarrow 0} \cos x \\
&=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin \left(\sin ^{2} x\right)}{3 x^{2}+4 x^{3}} .
\end{aligned}
$$
因为当 $x \rightarrow 0$, $\sin x \rightarrow 0$, 所以 $\sin \left(\sin ^{2} x\right) \sim \sin ^{2} x \sim x^{2}$, 所以
$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin \left(\sin ^{2} x\right)}{3 x^{2}+4 x^{3}}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2}}{3 x^{2}+4 x^{3}}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{3+4 x}=\frac{1}{3},
$$ 所以 f (x) 与 g(x) 是同阶但非等价的无穷小量.应选(B)
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